今回の問題は「３次式の因数分解」です。
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~8x^3+1$$$${\small (2)}~x^3-27y^3$$$${\small (3)}~3x^3-24$$
Point：３次式の因数分解■ ( )³ ± ( )³ の因数分解
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
■ ( )³ に因数分解
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
\(\begin{split}&x^3+2x^2-x-2\\[2pt]=~&(x^3-x)+(2x^2-2)\\[2pt]=~&x(x^2-1)+2(x^2-1)\\[2pt]=~&(x^2-1)(x+2)\\[2pt]=~&(x+1)(x-1)(x+2)\end{split}\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
※ \(ab\) の符号に注意する。
■ ( )³ に因数分解
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
この公式が使えない場合は、
組合せを工夫して共通部分をつくる。
\(\begin{split}&x^3+2x^2-x-2\\[2pt]=~&(x^3-x)+(2x^2-2)\\[2pt]=~&x(x^2-1)+2(x^2-1)\\[2pt]=~&(x^2-1)(x+2)\\[2pt]=~&(x+1)(x-1)(x+2)\end{split}\)
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