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平面上の内分点・外分点・重心

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平面上の内分点・外分点・重心

Point:平面上の内分点・外分点・重心・内分点・外分点
2点 \(A(x_a,y_a)~,~B(x_b,y_b)\) において、
線分 \(AB\) を \(m:n\) に内分する点 \(P\) は、

$$P\left(\frac{nx_a+mx_b}{m+n},\frac{ny_a+my_b}{m+n}\right)$$

線分 \(AB\) を \(m:n\) に外分する点 \(Q\) は、

$$Q\left(\frac{-nx_a+mx_b}{m-n},\frac{-ny_a+my_b}{m-n}\right)$$

線分 \(AB\) を中点 \(M\) は、

$$M\left(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2}\right)$$

内分点は、\(x\) 座標と \(y\) 座標のそれぞれで、
分子が「比と座標のたすき掛けの和」
分母が「比の値の和」
と覚えましょう。
 
・重心
三角形 \(ABC\) の頂点が \(A(x_a,y_a)~,~B(x_b,y_b)~,~C(x_c,y_c)\) のとき、重心 \(G\) の座標は次のようになります。

$$G\left(\frac{x_a+x_b+x_c}{3},\frac{y_a+y_b+y_c}{3}\right)$$

分子が「3つの座標の和」
分母が「3」と覚えましょう。

 

問題解説:平面上の内分点・外分点・重心

問題解説(1)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}~\)線分 \(AB\) の中点

2点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)\) において、中点の座標は、$$~~~~~~\left(\frac{2+1}{2},\frac{-1+3}{2}\right)$$$$~=\left(\frac{3}{2},\frac{2}{2}\right)$$$$~=\left(\frac{3}{2},1\right)$$よって、答えは \(\left({\Large \frac{3}{2}},1\right)\) となります。

 

問題解説(2)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\)線分 \(BC\) を \(2:1\) に内分する点

2点 \(B(1,-1)~,~C(-2,1)\) において、線分 \(BC\) を \(2:1\) に内分する点は、$$~~~~~~\left(\frac{1\cdot1+2\cdot(-2)}{2+1},\frac{1\cdot(-1)+2\cdot1}{2+1}\right)$$$$~=\left(\frac{1-2}{3},\frac{-1+2}{3}\right)$$$$~=\left(\frac{-3}{3},\frac{1}{3}\right)$$$$~=\left(-1,\frac{1}{3}\right)$$よって、答えは \(\left( -1,{\Large \frac{1}{3}}\right)\) となります。

 

問題解説(3)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (3)}~\)線分 \(CA\) を \(3:1\) に外分する点

2点 \(C(-2,1)~,~A(2,3)\) において、線分 \(CA\) を\(3:1\) に外分する点は、$$~~~~~~\left( \frac{-1\cdot(-2)+3\cdot2}{3-1},\frac{-1\cdot1+3\cdot3}{3-1} \right)$$$$~=\left( \frac{2+6}{2},\frac{-1+9}{2} \right)$$$$~=\left(\frac{8}{2},\frac{8}{2}\right)$$$$~=(4,4)$$よって、答えは \((4,4)\) となります。

 

問題解説(4)

問題3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) について、次の点の座標を求めよ。
\({\small (4)}~\)三角形 \(ABC\) の重心

3点 \(A(2,3)~,~B(1,-1)~,~C(-2,1)\) において、重心の座標は、$$~~~~~~\left(\frac{2+1+(-2)}{3},\frac{3+(-1)+1}{3}\right)$$$$~=\left( \frac{1}{3},\frac{3}{3}\right)$$$$~=\left(\frac{1}{3},1\right)$$よって、答えは \(\left( {\Large \frac{1}{3}},1\right)\) となります。

 

今回のまとめ

座標の求め方はそれぞれの公式を覚えておきましょう。また、\(x\) 座標と \(y\) 座標のそれぞれで計算する必要があるので、計算ミスに注意しましょう。

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