弧度法と度数法
半径 \(1\) の円とその内部にある扇形において、
この扇形の弧の長さ \(l\) を中心角 \(\theta\) の大きさと定義します。
\(\theta=l\) ラジアン
よって、\(180^\circ=\pi\) ラジアン、
\(1\) ラジアン \(={\large \frac{180^\circ}{\pi}}\) が成り立ちます。
・度数法を弧度法にするとき
「度数法」 \(\times {\large \frac{\pi}{180}}~=\) 「弧度法」
また、
「弧度法」 \(\times {\large \frac{180}{\pi}}~=\) 「度数法」
この式を覚えておきましょう。
中心角 \(\theta\) ラジアン、半径 \(r\) の扇形について、
弧の長さ \(l\) は、
面積 \(S\) は、
問題解説：弧度法と扇形
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 次の角を弧度法で表せ。$$~{\large ①}~120^\circ~~~~~{\large ②}~750^\circ~~~~~{\large ③}~-72^\circ$$
それぞれ「度数法」 \(\times {\large \frac{\pi}{180}}~=\) 「弧度法」を用いると、$${\large ①}~~~120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2}{3}\pi$$よって、答えは \({\large \frac{2}{3}}\pi\) となります。
$${\large ②}~~~750\times\frac{\pi}{180}=\frac{25}{6}\pi$$よって、答えは \({\large \frac{25}{6}}\pi\) となります。
$${\large ③}~~~-72\times\frac{\pi}{180}=-\frac{2}{5}\pi$$よって、答えは \(-{\large \frac{2}{5}}\pi\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 次の角を度数法で表せ。$$~{\large ①}~\frac{3}{4}\pi~~~~~{\large ②}~\frac{7}{2}\pi~~~~~{\large ③}~-\frac{11}{5}\pi$$
それぞれ「弧度法」 \(\times {\large \frac{180}{\pi}}~=\) 「度数法」を用いると、$${\large ①}~~~\frac{3}{4}\pi\times\frac{180}{\pi}=135$$よって、答えは \(135^\circ\) となります。
$${\large ②}~~~\frac{7}{2}\pi\times\frac{180}{\pi}=630$$よって、答えは \(630^\circ\) となります。
$${\large ③}~~~-\frac{11}{5}\pi\times\frac{180}{\pi}=-396$$よって、答えは \(-396^\circ\) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}\) 半径 \(2\)、中心角 \({\large \frac{\pi}{4}}\) である扇形の弧の長さと面積を求めよ。
半径 \(r=2\)、中心角 \(\theta={\large \frac{\pi}{4}}\) より、扇形の弧の長さを \(l\) とすると、$$~~~l=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$扇形の面積を \(S\) とすると、$$~~~S=\frac{1}{2}\cdot2^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$よって、答えは、$$~~~l=\frac{\pi}{2}~,~S=\frac{\pi}{2}$$となります。
問題解説(4)
\({\small (4)}\) 半径 \(3\)、弧の長さ \({\large \frac{6}{5}}\pi \) である扇形の中心角と面積を求めよ。
中心角を \(x\) とすると、半径 \(r=3\) で弧の長さを \(l\) とすると、$$~~~l=3\cdot x=3x$$ここで、弧の長さが \({\large \frac{6}{5}}\pi\) であることより、$$\hspace{10pt }3x=\frac{6}{5}\pi$$$$\hspace{ 15 pt}x=\frac{2}{5}\pi$$また、扇形の面積を \(S\) とすると、$$\hspace{10pt}S=\frac{1}{2}\cdot3^2\cdot\frac{2}{5}\pi$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{9}{5}\pi$$
よって、答えは、$$~~~x=\frac{2}{5}\pi~,~S=\frac{9}{5}\pi$$となります。
今回のまとめ
弧度法と度数法の変換の方法はそのまま覚えておきましょう。また、弧度法を用いた扇形の公式も使えるように練習しておきましょう。
