接線の傾きの条件と関数の決定

2018.11.012020.06.09

接線の傾きの条件と関数の決定
問題：接線の傾きの条件と関数の決定
今回のまとめ

接線の傾きの条件と関数の決定

Point：接線の傾きの条件と関数の決定関数 $y=f(x)$ 上の各点 $(x~,~y)$ における接線の傾きは $f'(x)$ となることより、$f'(x)$ を積分することで $f(x)$ が求まります。

$$f(x)=\int f'(x) dx$$

これと、$f(x)$ の条件より、積分定数 $C$ を求めて $f(x)$ を求めましょう。

問題：接線の傾きの条件と関数の決定

問題ある曲線 $f(x)$ は点 $(1~,~-3)$ を通り、この曲線上の各点 $(x~,~y)$ での接線の傾きが $2x-5$ となる。この曲線 $f(x)$ を求めよ。

点 $(x~,~y)$ での傾きが $2x-5$ より、$$~~~f'(x)=2x-5$$となります。
よって、この式を積分すると、$$\hspace{ 10 pt}f(x)=\int (2x-5) dx$$$$\hspace{ 31 pt}=\frac{1}{2}2x^2-5x+C$$$$\hspace{ 31 pt}=x^2-5x+C$$よって、$$~~~f(x)=x^2-5x+C~~~\cdots{\large ①}$$
ここで、点 $(1~,~-3)$ を通るので $f(1)=-3$ より、$$\hspace{ 10 pt}f(1)=1^2-5\cdot1+C=-3$$$$\hspace{ 59 pt}1-5+C=-3$$$$\hspace{ 69 pt}-4+C=-3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}C=-3+4$$$$\hspace{ 10 pt}C=1$$これを①に代入すると、答えは$$~~~f(x)=x^2-5x+1$$となります。