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等差数列

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等差数列の解法

Point:等差数列数列 \(\{a_n\}\) について、それぞれの項に定数 \(d\) を加えると次の項が得られるとき、この数列を等差数列といい \(d\) を公差といいます。
\(~~~\{a_n\}=\{~a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdot~\cdot~\cdot~~,~~a_n~\}\)
\(\hspace{ 55 pt}\) \(\overset{\smile}{+d}\)\(\hspace{ 8 pt}\) \(\overset{\smile}{+d}\)\(\hspace{ 6 pt}\) \(\overset{\smile}{+d}\)\(~\cdot~\cdot ~\cdot~\) \(\overset{\smile}{+d}\)
ここで、$$~~~a_2=a_1+d$$$$~~~a_3=a_1+d+d=a_1+2d$$$$~~~a_4=a_1+d+d+d=a_1+3d$$これらが成り立つことより、第 \(n\) 項は初項から公差を \(n-1\) 回加えたものとなるので、

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

となります。

 

問題解説:等差数列

問題解説(1)

問題次の数列の一般項と第5項を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(1\)、公差が \(3\)

初項 \(a=1\)、公差 \(d=3\) であり、一般項(第 \(n\) 項)は初項から公差を \(n-1\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=1+(n-1)\cdot3$$$$\hspace{ 21 pt}=1+3n-3$$$$\hspace{ 21 pt}=3n-2$$また、第5項は、\(n=5\) のときであるので、$$~~~a_5=3\cdot5-2$$$$\hspace{ 20 pt}=15-2$$$$\hspace{ 20 pt}=13$$よって、答えは$$~~~a_n=3n-2~,~a_5=13$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の一般項と第5項を求めよ。
\({\small (2)}\) 公差が \(2\)、第10項が \(23\)

初項を \(a\) とすると、第10項は初項 \(a\) から公差 \(2\) を \(10-1=9\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=a+9\cdot2$$$$\hspace{ 24 pt}=a+18$$また、第10項は \(a_{10}=23\) であることより、$$~~~a+18=23$$移項すると、$$\hspace{ 25 pt}a=23-18$$$$\hspace{ 25 pt}a=5$$よって、一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(5\) から公差 \(2\) を \(n-1\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=5+(n-1)\cdot2$$$$\hspace{ 21 pt}=5+2n-2$$$$\hspace{ 21 pt}=2n+3$$また、第5項は、\(n=5\) のときであるので、$$~~~a_5=2\cdot5+3$$$$\hspace{ 20 pt}=10+3$$$$\hspace{ 20 pt}=13$$よって、答えは$$~~~a_n=2n+3~,~a_5=13$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の数列の一般項と第5項を求めよ。
\({\small (3)}\) 初項が \(50\)、第10項が \(23\)

公差を \(d\) とすると、第10項は初項 \(50\) から公差 \(d\) を \(10-1=9\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=50+9\cdot d$$$$\hspace{ 24 pt}=9d+50$$第10項は \(a_{10}=23\) であることより、$$~~~9d+50=23$$移項して、両辺を \(9\) で割ると、$$\hspace{ 30 pt}9d=23-50$$$$\hspace{ 30 pt}9d=-27$$$$\hspace{ 36 pt}d=-3$$よって、一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(50\) から公差 \(-3\) を \(n-1\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=50+(n-1)\cdot(-3)$$$$\hspace{ 21 pt}=50-3n+3$$$$\hspace{ 21 pt}=-3n+53$$また、第5項は、\(n=5\) のときであるので、$$~~~a_5=-3\cdot5+53$$$$\hspace{ 20 pt}=-15+53$$$$\hspace{ 20 pt}=38$$よって、答えは$$~~~a_n=-3n+53~,~a_5=38$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の数列の一般項と第5項を求めよ。
\({\small (4)}\) 第4項が \(7\)、第10項が \(-5\)

初項を \(a\)、公差を \(d\) とすると、第4項は、初項 \(a\) から公差 \(d\) を \(4-1=3\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_4=a+3d$$第4項は \(a_4=7\) であることより、$$~~~a+3d=7~\cdots①$$
第10項は、初項 \(a\) から公差 \(d\) を \(10-1=9\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_{10}=a+9d$$第10項は \(a_{10}=-5\) であることより、$$~~~a+9d=-5~\cdots②$$
②−①より、$$\hspace{ 10 pt}(a+9d)-(a+3d)=-5-7$$$$\hspace{ 26 pt}a+9d-a-3d=-12$$$$\hspace{ 85 pt}6d=-12$$両辺を \(6\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}d=-2$$①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}a+3\cdot(-2)=7$$$$\hspace{ 38 pt}a-6=7$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a=7+6$$$$\hspace{ 10 pt}a=13$$

よって、一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(13\) から公差 \(-2\) を \(n-1\) 回加えたものとなるので、$$~~~a_n=13+(n-1)\cdot(-2)$$$$\hspace{ 21 pt}=13-2n+2$$$$\hspace{ 21 pt}=-2n+15$$また、第5項は、\(n=5\) のときであるので、$$~~~a_5=-2\cdot5+15$$$$\hspace{ 20 pt}=-10+15$$$$\hspace{ 20 pt}=5$$よって、答えは$$~~~a_n=-2n+15~,~a_5=5$$となります。

 

今回のまとめ

等差数列の一般項の公式は式を覚えるのではなく意味を理解しておきましょう。また、一般項を求めるときは先に初項と公差を求めることを忘れないようにしましょう。

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