等差数列の和の解法
① 初項 \(a\)、末項 \(l\)、項数 \(n\) が与えられたとき、
② 初項 \(a\)、公差 \(d\)、項数 \(n\) が与えられたとき、
これは①の式に \(l=a+(n-1)d\) を代入したものとなります。
問題解説：等差数列の和
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 初項が \(2\)、公差が \(3\)、項数が \(10\) である等差数列の和を求めよ。
初項 \(2\)、公差 \(3\)、項数 \(10\) より、$$~~~S_{10}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\{2\cdot2+(10-1)\cdot3\}$$$$\hspace{ 25 pt}=5(4+9\cdot3)$$$$\hspace{ 25 pt}=5(4+27)$$$$\hspace{ 25 pt}=5\cdot31$$$$\hspace{ 25 pt}=155$$よって、答えは \(155\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 初項が \(7\)、末項が \(23\)、項数が \(8\) である等差数列の和を求めよ。
初項 \(7\)、末項 \(23\)、項数 \(8\) より、$$~~~S_8=\frac{1}{2}\cdot8\cdot(7+23)$$$$\hspace{ 22 pt}=4\cdot30$$$$\hspace{ 22 pt}=120$$よって、答えは \(120\) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}\) 初項が \(5\)、初項から第10項までの和が \(-40\) である等差数列の一般項を求めよ。
\(S_{10}\) は、初項 \(5\)、公差 \(d\)、項数 \(10\) より、$$~~~S_{10}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\{2\cdot5+(10-1)\cdot d\}$$$$\hspace{ 25 pt}=5(10+9d)$$$$\hspace{ 25 pt}=50+45d$$初項から第10項までの和が \(S_{10}=-40\) であることより、$$~~~50+45d=-40$$移項して、\(45\) で割ると、$$\hspace{ 32 pt}45d=-40-50$$$$\hspace{ 32 pt}45d=-90$$$$\hspace{ 42 pt}d=-2$$よって、初項 \(5\)で公差 \(-2\) の数列の一般項は、初項から公差を \(n-1\) 回加えるので、$$~~~a_n=5+(n-1)\cdot(-2)$$$$\hspace{ 21 pt}=5-2n+2$$$$\hspace{ 21 pt}=-2n+7$$よって、答えは \(a_n=-2n+7\) となります。
今回のまとめ
等差数列の和の公式は与えられた条件より、用いる公式を使い分けできるようになりましょう。
