等差数列の和の最大値

2018.05.112020.06.09

等差数列の和の最大値
問題解説：等差数列の和の最大値
今回のまとめ

等差数列の和の最大値

Point：等差数列の和の最大値数列の値が次のようになる最大値を求めてみましょう。

① 数列の一般項 $a_n$ を求めましょう。
② この数列の項が負の値となるような範囲を求めます。一般項より、$$~~~a_n<0$$この不等式を解き、これを満たす最小の整数 $k$ を求めます。
③ これより、$n=k-1$ までは正の値の項となるので、この数列の和の最大値は初項から第 $k-1$ 項までの和 $S_{k-1}$ となります。

問題解説：等差数列の和の最大値

問題初項 $13$、公差 $-2$ の等差数列において、初めて負の項となる項は第何項目か答えよ。また、この数列の和の最大値を求めよ。

この数列の一般項は、初項 $13$ から公差 $-2$ を $n-1$ 回加えるので、$$~~~a_n=13+(n-1)\cdot(-2)$$$$\hspace{ 21 pt}=13-2n+2$$$$\hspace{ 21 pt}=-2n+15$$
ここで、項が負の値となるような範囲を求めると、$a_n<0$ より、$$~~~-2n+15<0$$$$\hspace{ 34 pt}-2n<-15$$両辺を $-2$ で割ると不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 47 pt} n>\frac{15}{2}=7.5$$したがって、$n=8$ のとき初めて負の値となります。

これより、$n=7$ まで正の値の項となるので、$S_7$ が最大値となる。
初項 $13$、公差 $-2$、項数 $7$ より、$$~~~S_7=\frac{1}{2}\cdot7 \{2\cdot13+(7-1)\cdot(-2)\}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{1}{2}\cdot7\{26+6\cdot(-2)\}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot(26-12)$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot14$$$$\hspace{ 22 pt}=49$$