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等比数列

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等比数列の解法

Point:等比数列数列 \(\{a_n\}\) について、それぞれの項に定数 \(r\) をかけると次の項が得られるとき、この数列を等比数列といい、\(r\) を公比といいます。
\(~~~\{a_n\}=\{~a_1~~,~~a_2~~,~~a_3~~,~~\cdot~\cdot~\cdot~~,~~a_n~\}\)
\(\hspace{ 55 pt}\) \(\overset{\smile}{\times r}\)\(\hspace{ 8 pt}\) \(\overset{\smile}{\times r}\)\(\hspace{ 6 pt}\) \(\overset{\smile}{\times r}\)\(~\cdot~\cdot ~\cdot~\) \(\overset{\smile}{\times r}\)
ここで、$$~~~a_2=a_1 \times r=a_1 \cdot r$$$$~~~a_3=a_1 \times r \times r=a_1\cdot r^2$$$$~~~a_4=a_1 \times r \times r \times r =a_1 \cdot r^3$$これらが成り立つことより、第 \(n\) 項は初項から公比を \(n-1\) 回かけたものとなるので、

$$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$

となります。

 

問題解説:等比数列

問題解説(1)

問題次の数列の一般項と第6項を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(3\)、公比が\(2\)

初項 \(a_1=3\)、公比 \(r=2\) であり、一般項(第 \(n\) 項)は初項から公比を \(n-1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=3\cdot 2^{n-1}$$
また、第6項は \(n=6\) のときであるので、$$~~~a_6=3\cdot 2^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=3\cdot 2^5$$$$\hspace{ 20 pt}=3\cdot32$$$$\hspace{ 20 pt}=96$$よって、答えは \(a_n=3\cdot 2^{n-1}~,~a_6=96\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の数列の一般項と第6項を求めよ。
\({\small (2)}\) 公比が \(3\)、第4項が \(135\)

初項を \(a\) とすると、
第4項は、初項 \(a\) から公比 \(3\) を \(4-1=3\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_4=a\cdot 3^3$$$$\hspace{ 20 pt}=27a$$また、第4項は \(a_4=135\) であることより、$$~~~27a=135$$両辺を \(27\) で割ると、$$\hspace{ 18 pt}a=5$$よって、一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(5\) から公比 \(3\) を \(n-1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=5\cdot 3^{n-1}$$
また、第6項は \(n=6\) のときであるので、$$~~~a_6=5\cdot 3^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot 3^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot243$$$$\hspace{ 20 pt}=1215$$よって、答えは \(a_n=5\cdot 3^{n-1}~,~a_6=1215\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の数列の一般項と第6項を求めよ。
\({\small (3)}\) 初項が \(24\)、第3項が \(6\)

公比を \(r\) とすると、
第3項は、初項 \(24\) から公比 \(r\) を \(3-1=2\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_3=24\cdot r^2$$$$\hspace{ 20 pt}=24r^2$$また、第3項は \(a_3=6\) であることより、$$~~~24r^2=6$$両辺を \(24\) で割ると、$$\hspace{ 18 pt}r^2=\frac{1}{4}$$$$\hspace{ 22 pt}r=\pm\frac{1}{2}$$

( ⅰ ) \(r={\Large \frac{1}{2}}\) のとき、
一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(24\) から公比 \({\Large \frac{1}{2}}\) を \(n-1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=24\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
また、第6項は \(n=6\) のときであるので、$$~~~a_6=24\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \frac{1}{32}$$$$\hspace{ 20 pt}=\frac{3}{4}$$
( ⅱ ) \(r=-{\Large \frac{1}{2}}\) のとき、
一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(24\) から公比 \(-{\Large \frac{1}{2}}\) を \(n-1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$
また、第6項は \(n=6\) のときであるので、$$~~~a_6=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5$$$$\hspace{ 20 pt}=5\cdot \left(-\frac{1}{32}\right)$$$$\hspace{ 20 pt}=-\frac{3}{4}$$

よって、( ⅰ )と( ⅱ )より答えは、$$~~~a_n=24\cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}~,~a_6=\frac{3}{4}$$または$$~~~a_n=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}~,~a_6=-\frac{3}{4}$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の数列の一般項と第6項を求めよ。
\({\small (4)}\) 第2項が \(12\)、第5項が \(96\)

初項を\(a\)、公比を \(r\) とすると、
第2項は、初項から公比を \(2-1=1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_2=a\cdot r^1$$$$\hspace{ 20 pt}=ar$$また、第2項は \(a_2=12\) であることより、$$~~~ar=12~\cdots①$$

第5項は、初項から公比を \(5-1=4\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_2=a\cdot r^4$$$$\hspace{ 20 pt}=ar^4$$また、第5項は \(a_5=96\) であることより、$$~~~ar^4=96~\cdots②$$

②÷①より、両辺をそれぞれわり算すると、$$~~~\frac{ar^4}{ar}=\frac{96}{12}$$左辺は \(ar\) で、右辺は \(12\) で約分すると、$$\hspace{ 17 pt} r^3=8$$$$\hspace{ 21 pt}r=2$$また①に代入すると、$$~~~a\cdot2=12$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}a=6$$
一般項(第 \(n\) 項)は初項 \(6\) から公比 \(2\) を \(n-1\) 回かけたものとなるので、$$~~~a_n=6\cdot 2^{n-1}$$
また、第6項は \(n=6\) のときであるので、$$~~~a_6=6\cdot 2^{6-1}$$$$\hspace{ 20 pt}=6\cdot 2^5$$$$\hspace{ 20 pt}=6\cdot32$$$$\hspace{ 20 pt}=192$$よって、答えは \(a_n=6\cdot 2^{n-1}~,~a_6=192\) となります。

 

今回のまとめ

等比数列の一般項は、まず初項と公比の値を求めましょう。また、等比数列の一般項を扱う計算ではわり算を利用して文字数を減らしていきましょう。

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