等比数列の和の解法
( ⅰ ) \(r\neq1\) のとき
この２つの式は、
\(r<1\) のときは \(1-r\) の式を
\(r>1\) のときは \(r-1\) の式を
それぞれ使うと分母が正となり計算がしやすくなります。
( ⅱ ) \(r=1\) のとき
公比が \(1\) となるので、すべての項が初項 \(a\) と同じになります。また、その和は$$~~~S_n=a+a+a+~\cdot~\cdot~\cdot~+a$$\(a\) が \(n\) 個あるので、
となります。
問題解説：等比数列の和
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 初項が \(3\)、公比が \(2\)、項数が \(10\)
初項 \(3\)、公比 \(2\)、項数 \(10\) より、$$~~~S_{10}=\frac{3(2^{10}-1)}{2-1}$$\(2^{10}=1024\) を用いて計算すると、$$\hspace{ 25 pt}=3(1024-1)$$$$\hspace{ 25 pt}=3\cdot 1023$$$$\hspace{ 25 pt}=3069$$よって、答えは \(3069\) となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 初項が \(5\)、公比が \(1\)、項数が \(20\)
公比が \(r=1\) であるので、すべての項が初項 \(5\) と同じになり、項数が \(20\) であることより、$$~~~S_{20}=5\cdot20$$$$\hspace{ 25 pt}=100$$よって、答えは \(100\) となります。
問題解説(3)
\({\small (3)}\) 初項が \(27\)、公比が \(-2\)、項数が \(6\)
初項 \(27\)、公比 \(-2\)、項数 \(6\) より、$$~~~S_{6}=\frac{27\{1-(-2)^{6}\}}{1-(-2)}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{27(1-64)}{1+2}$$$$\hspace{ 22 pt}=\frac{27\cdot(-63)}{3}$$$$\hspace{ 22 pt}=9\cdot(-63)$$$$\hspace{ 22 pt}=-567$$よって、答えは \(-567\) となります。
今回のまとめ
等比数列の和を求めるときは、公比の値によって公式を使い分けれるようになりましょう。
