数学的帰納法②（不等式）

2018.07.102024.02.18

数学的帰納法と不等式証明
問題解説
今回のまとめ

数学的帰納法と不等式証明

Point：数学的帰納法と不等式証明$n=k+1$ のときの、両辺の差（左辺−右辺）を $n=k$ の条件式を用いて、０より大きくなることを証明します。

問題解説

問題$n$ を３以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~2^n>3n-2$$

[証明]
( ⅰ ) $n=3$ のとき、
左辺は、$$~~~2^3=8$$右辺は、$$~~~3\cdot3-2=9-2=7$$よって、不等式は成り立ちます。
( ⅱ ) $ n=k $ のとき、不等式が成り立つと仮定すると、$$~~~3^k>3k-2~\cdots{\Large ①}$$$n=k+1$ のとき、命題の両辺の差を考えると、$$~~~~~~2^{k+1}-{3(k+1)-2}$$$$~=2\cdot2^k-(3k+3-2)$$$$~=2\cdot2^k-(3k+1)$$ここで、①の不等式より、$$~>2(3k-2)-(3k+1)$$$$~=6k-4-3k-1$$$$~=3k-5$$$ k≧3 $ より、$$~=3k-5>0$$よって、$$~~~2^{k+1}>3(k+1)-2$$これより、この不等式は $ n=k+1 $ のときも成り立ちます。
( ⅰ )、( ⅱ )により、$ 3 $ 以上のすべての自然数 $ n $ について、不等式は成り立ちます。[終]