数学的帰納法③（整数の性質）

2018.07.102020.06.09

命題が整数の性質のときの数学的帰納法
問題解説
今回のまとめ

命題が整数の性質のときの数学的帰納法

Point：命題が整数の性質のときの数学的帰納法$n=k$ のときの仮定が成り立つとき、$3$ の倍数などは整数 $m$ を用いて $3m$ と表せます。
これを条件式として、$n=k+1$ のときの式が成り立つことを示しましょう。

問題解説

問題$n$ を自然数とするとき、$2n^2+2n$ が $4$ の倍数となることを数学的帰納法によって証明せよ。

[証明]
( ⅰ ) $n=1$ のとき、$$~~~2\cdot1^2+2\cdot1=2+2=4$$よって、$4$ の倍数となります。

( ⅱ ) $n=k$ のときに成り立つと仮定すると、整数 $m$ を用いて、$$~~~2k^2+2k=4m~\cdots{\large ①}$$ここで、$n=k+1$ のときを考えると、$$~~~~~~2(k+1)^2+2(k+1)$$$$~=2(k^2+2k+1)+2k+2$$$$~=2k^2+4k+2+2k+2$$$$~=2k^2+6k+4$$$$~=(2k^2+2k)+4k+4$$ここで、①を代入すると、$$~=4m+4k+4$$$$~=4(m+k+1)$$よって、$4$ の倍数となり、$n=k+1$ のときも成り立ちます。

( ⅰ )、( ⅱ )により、すべての自然数において、$2n^2+2n$ が $4$ の倍数となります。[終]