空間の点とベクトルの成分
成分を求めるときは、「終点－始点」と計算すると覚えておきましょう。
また、その大きさ \(|\overrightarrow{\rm AB}|\) は、
となります。
問題解説：空間の点とベクトルの成分
問題解説(1)
２点 \({\rm O~,~C}\) について、$$~~~{\rm O}(0~,~0~,~0)~,~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$これより、「終点C－始点O」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm OC}=\left(\begin{array} {c} -1-0 \\ 2-0 \\ -2-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OC}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(2)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{1+4+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9}$$$$\hspace{ 34 pt}=3$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OC}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OC}|=3$$となります。
問題解説(2)
２点 \({\rm A~,~B}\) について、$$~~~{\rm A}(1~,~-2~,~0)~,~{\rm B}(2~,~3~,~1)$$これより、「終点B－始点A」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2-1 \\ 3+2 \\ 1-0 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{1^2+5^2+1^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{1+25+1}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{27}$$$$\hspace{ 34 pt}=3\sqrt{3}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AB}=(1~,~5~,~1)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm AB}|=3\sqrt{3}$$となります。
問題解説(3)
２点 \({\rm B~,~C}\) について、$$~~~{\rm B}(2~,~3~,~1)~,~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$これより、「終点C－始点B」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BC}=\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -1-2 \\ 2-3 \\ -2-1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-3)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9+1+9}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{19}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BC}=(-3~,~-1~,~-3)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{19}$$となります。
問題解説(4)
２点 \({\rm C~,~A}\) について、$$~~~{\rm C}(-1~,~2~,~-2)~,~{\rm A}(1~,~-2~,~0)$$これより、「終点A－始点C」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm CA}=\left(\begin{array} {c} 1 \\-2 \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 1+1 \\ -2-2 \\ 0+2 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -4 \\ 2 \end{array}\right)$$
また、その大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm CA}|=\sqrt{2^2+(-4)^2+2^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{4+16+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{24}$$$$\hspace{ 34 pt}=2\sqrt{6}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm CA}=(2~,~-4~,~2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm CA}|=2\sqrt{6}$$となります。
今回のまとめ
点の座標と空間ベクトルの成分については、２点を結ぶベクトルの成分を表せれるようになりましょう。ベクトルの「終点−始点」と覚えておきましょう。
