３次式の因数分解公式
Point：３次式の因数分解■ ( )³ ± ( )³ の因数分解
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
■ ( )³ に因数分解
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
\(\begin{split}&x^3+2x^2-x-2\\[2pt]=~&(x^3-x)+(2x^2-2)\\[2pt]=~&x(x^2-1)+2(x^2-1)\\[2pt]=~&(x^2-1)(x+2)\\[2pt]=~&(x+1)(x-1)(x+2)\end{split}\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
※ \(ab\) の符号に注意する。
■ ( )³ に因数分解
\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)
\(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)
この公式が使えない場合は、
組合せを工夫して共通部分をつくる。
\(\begin{split}&x^3+2x^2-x-2\\[2pt]=~&(x^3-x)+(2x^2-2)\\[2pt]=~&x(x^2-1)+2(x^2-1)\\[2pt]=~&(x^2-1)(x+2)\\[2pt]=~&(x+1)(x-1)(x+2)\end{split}\)
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問題解説：３次式の因数分解
問題解説(1)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~8x^3+1$$
それでは問題を見ていきましょう。$$~~~~~~8x^3+1$$$$~=(2x)^3+1^3$$「３乗＋３乗」より、３次式の因数分解の公式を用いると、$$~=(2x+1)\{(2x)^2-2x\cdot 1+1^2\}$$$$~=(2x+1)(4x^2-2x+1)$$よって、答えは \( (2x+1)(4x^2-2x+1) \) となります。
問題解説(2)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (2)}~x^3-27y^3$$
$$~~~~~~x^3-27y^3$$$$~=x^3-(3y)^3$$「３乗－３乗」より、３次式の因数分解の公式を用いると、$$~=(x-3y)\{x^2+x\cdot 3y+(3y)^2\}$$$$~=(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$$よって、答えは \( (x-3y)(x^2+3xy+9y^2) \) となります。
問題解説(3)
問題次の式を因数分解せよ。$${\small (3)}~3x^3-24$$
$$~~~~~~3x^3-24$$共通因数 \( 3 \) をもつので、$$~=3(x^3-8)$$$$~=3(x^3-2^3)$$「３乗－３乗」３次式の因数分解の公式を用いると、$$~=3(x-2)(x^2+x\cdot 2+2^2)$$$$~=3(x-2)(x^2+2x+4)$$よって、答えは \( 3(x-2)(x^2+2x+4) \) となります。
今回のまとめ
３次式の因数分解でも因数分解の基本は「共通因数でくくる！」です。また、公式を使うときは計算ミスに注意して丁寧に計算していきましょう。
【問題一覧】数学Ⅰ：数と式
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