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【問題一覧】数学Ⅱ:指数関数と対数関数

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このページは「高校数学Ⅱ:指数関数と対数関数」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅱ:指数関数と対数関数

指数法則の基本

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を求めよ。$${\large ①}~3^0~~~~~~~~~{\large ②}~5^{-1}~~~~~~~~~{\large ③}~(0.5)^{-2}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。ただし、\(a\neq0\) \(,\) \(b\neq0\) とする。$${\large ①}~a^{-3} a^5\hspace{ 27 pt}{\large ②}~(a^{-2})^{-3}$$$${\large ③}~(ab^{-1})^2\hspace{ 20 pt}{\large ④}~a^{-5}\div a^{-3}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~1~~~~~~{\large ②}~\frac{1}{5}~~~~~~{\large ③}~4$$$${\small (2)}~{\large ①}~a^2~~~~~~{\large ②}~a^6~~~~~~{\large ③}~\frac{a^2}{b^2}~~~~~~{\large ④}~\frac{1}{a^2}$$

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指数法則の基本
指数法則の基本について解説していきます。指数部分が 0 のときや負の数のときに注意して計算していきましょう。

 

累乗根

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の式の値を求めよ。$$~{\large ①}~\sqrt[{\large 5}]{32}~~~~~~{\large ②}~\sqrt[\large 3]{0.001}~~~~~~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{-27}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt[\large 3]{4}\times\sqrt[\large 3]{2}$$$$~{\large ②}~\sqrt[\large 4]{243}\div\sqrt[\large 4]{3}$$$$~{\large ③}~\sqrt[\large 3]{16}+\sqrt[\large 3]{54}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~2~~~~~~{\large ②}~0.1~~~~~~{\large ③}~-3$$$${\small (2)}~{\large ①}~2~~~~~~{\large ②}~3~~~~~~{\large ③}~5\sqrt[\large 3]{2}$$

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累乗根
今回は累乗根について解説していきます。累乗根の扱い方と外し方などの計算方法をおさえておきましょう。

 

指数法則の拡張

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を \(a^x\) の形で表せ。ただし、\(t>0\) とする。$$~{\large ①}~(\sqrt[\large 3]{t})^{-4}~~~~~~~~~~~~{\large ②}~\sqrt{\sqrt[\large 3]{t^{-4}}}$$\({\small (2)}\) 次の値を求めよ。$$~{\large ①}~8^{\large \frac{2}{3}}\hspace{ 48 pt}{\large ②}~9^{\large -\frac{1}{2}}$$$$~{\large ③}~(\sqrt[\large 6]{49})^3\hspace{ 30 pt}{\large ④}~\sqrt[\large 5]{\sqrt{1024}}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~t^{-{\large \frac{4}{3}}}~~~~~~{\large ②}~t^{- {\large \frac{2}{3}}}$$$${\small (2)}~{\large ①}~4~~~~~~{\large ②}~\frac{1}{3}~~~~~~{\large ③}~7~~~~~~{\large ④}~2$$

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指数法則の拡張
今回は指数法則の拡張について解説していきます。累乗根なども指数を用いて表すことができ、指数法則で計算する方法を覚えておきましょう。

 

指数法則を用いた計算

問題次の計算をせよ。ただし、\(a>0\) \(,\) \(b>0\) とする。$${\small (1)}~\left( \frac{1}{2} \right)^3\times2^5\div2^2$$$${\small (2)}~10^8\div2^5\times5^{-6}$$$${\small (3)}~(a^3b^{-1})^2\times(a^2b^{-3})^{-1}$$$${\small (4)}~\left( \frac{b^2}{a} \right)^3\times \left( \frac{b}{a^3} \right)^{-1}\div \left( \frac{b}{a} \right)^2$$

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【解答】$${\small (1)}~1~~~~~~~~~{\small (2)}~200$$$${\small (3)}~a^4b~~~~~~~~~{\small (4)}~a^2b^3$$

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指数法則を用いた計算
今回は指数法則を用いた計算について解説していきます。どの問題でも底を揃えて指数部分の計算にする解法を覚えておきましょう。

 

指数関数のグラフ

問題次の関数のグラフを描け。$${\small (1)}~y=3^x$$$${\small (2)}~y=\left( \frac{1}{3} \right)^x$$

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指数関数のグラフ
指数関数のグラフについて解説していきます。底の値によってグラフの概形が変わることに注意しましょう。

 

指数の大小比較

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\sqrt{8}~,~\sqrt[\large 3]{2}~,~4^{\large \frac{1}{4}}~,~\sqrt[\large 4]{32}$$$${\small (2)}~\left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^0~,~ \left( \frac{1}{5} \right)^3$$

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【解答】$${\small (1)}~\sqrt[\large 3]{2}<4^{\large \frac{1}{2}}<\sqrt[\large 4]{32}<\sqrt{8}$$$${\small (2)}~ \left( \frac{1}{5} \right)^3<\left( \frac{1}{5} \right)^0<\left( \frac{1}{5} \right)^{-{\large \frac{1}{2}}}$$

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指数の大小比較
指数の大小比較についてみていきましょう。グラフのときと同じで底の値によって考え方が変わる点に注意しましょう。

 

指数方程式

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~3^{2x}=27^{1-x}$$$${\small (2)}~25^x=\frac{1}{125}$$$${\small (3)}~8^x=\sqrt[\large 3]{16}$$$${\small (4)}~9^x=\sqrt[\large 4]{27}$$

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【解答】$${\small (1)}~x=\frac{3}{5}~~~~~~~~~{\small (2)}~x=-\frac{3}{2}$$$${\small (3)}~x=\frac{4}{9}~~~~~~~~~{\small (4)}~x=\frac{3}{8}$$

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指数方程式
指数関数で表された方程式について解説していきます。両辺を底が同じ累乗の形にしましょう。

 

指数不等式

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~9^x>81$$$${\small (2)}~0.3^x≧0.09$$$${\small (3)}~1≦2^{5-2x}≦64$$$${\small (4)}~\left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}>27$$

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【解答】$${\small (1)}~x>2~~~~~~~~~{\small (2)}~x≦2$$$${\small (3)}~-\frac{1}{2}≦x≦\frac{5}{2}~~~~~~~~~{\small (4)}~x<-2$$

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指数不等式
今回は指数不等式について解説していきます。基本的な解法の手順は指数方程式と同じですが、底の値と不等号の向きに注意しましょう。

 

指数関数を含む2次方程式

問題次の方程式の解を求めよ。$$~~~3^{2x+1}+26\cdot3^x-9=0$$

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【解答】$$~~~x=-1$$

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指数関数を含む2次方程式
指数関数を含む2次方程式について解説していきます。指数関数を別の文字に置き換えて t の2次方程式として解きましょう。

 

指数関数を含む2次不等式

問題次の不等式の解を求めよ。$$~~~4^x-3\cdot2^x+2<0$$

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【解答】$$~~~0<x<1$$

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指数関数を含む2次不等式
指数関数を含む2次不等式について解説していきます。基本的には2次方程式と同様に置き換えを用いて解いていきましょう。

 

指数関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=3^{2x}-2\cdot3^x+4~~~(-1≦x≦1)$$

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【解答】
 \(x=1\) のときに最大値 \(7\)
 \(x=0\) のときに最小値 \(3\)

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指数関数の最大値・最小値
指数関数を含む2次式の最大値・最小値について解説していきます。置き換えをして2次関数の最大値・最小値として解いていきましょう。

 

指数と対数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を \(p=\log_{a}M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~9^{\large \frac{1}{2}}=3\hspace{ 30 pt}{\large ②}~10^{-2}=0.01$$\({\small (2)}\) 次の値を \(a^p=M\) に書き換えよ。$$~{\large ①}~\log_{2}\frac{1}{8}=-3\hspace{ 20 pt}{\large ②}~\log_{5}\sqrt[\large 3]{5}=\frac{1}{3}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①} ~\frac{1}{2}=\log_{9}3~~~~~~{\large ②}~-2=\log_{10}0.01$$$${\small (1)}~{\large ①} ~2^{-3}=\frac{1}{8}~~~~~~{\large ②}~5^{\large \frac{1}{3}}=\sqrt[\large 3]{5}$$

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指数と対数
対数の定義と指数と対数についての問題を解説していきます。指数⇆対数の変換をできるようになりましょう。

 

対数の値

問題次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\log_{3}{81}$$$${\small (2)}~\log_{7}1$$$${\small (3)}~\log_{5}5$$$${\small (4)}~\log_{3}\frac{1}{9}$$$${\small (5)}~\log_{2}\sqrt{32}$$

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【解答】$${\small (1)}~4~~~~~~~~{\small (2)}~0$$$${\small (3)}~1~~~~~~~~{\small (4)}~-2$$$${\small (5)}~\frac{5}{2}$$

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対数の値
今回は対数の値を求める問題について解説していきます。真数部分を累乗の形にする方法を覚えておきましょう。

 

対数の計算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\log_{4}8+\log_{4}2$$$${\small (2)}~\log_{2}24-\frac{1}{2}\log_{2}9$$$${\small (3)}~\frac{1}{2}\log_{2}27-\log_{2}9+\log_{2}\sqrt{3}$$$${\small (4)}~\log_{3}18-2\log_{3}2+\log_{3}6$$

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【解答】$${\small (1)}~2~~~~~~~~{\small (2)}~3$$$${\small (3)}~0~~~~~~~~{\small (4)}~3$$

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対数の計算
対数の計算について解説していきます。解法の手順を覚えて計算していきましょう。

 

底の変換公式

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の値を底の変換公式を用いて求めよ。$$~{\large ①}~\log_{9}27\hspace{ 30 pt}{\large ②}~\log_{{\large \frac{1}{2}}}32$$$$~{\large ③}~\log_{8}\sqrt{2}$$\({\small (2)}\) 次の計算をせよ。$$~{\large ①}~2\log_{3}6-\log_{9}16$$$$~{\large ②}~\log_{8}3\cdot\log_{9}25\cdot\log_{5}4$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~\frac{3}{2}~~~~~~{\large ②}~-5~~~~~~{\large ③}~\frac{1}{6}$$$${\small (2)}~{\large ①}~2~~~~~~{\large ②}~\frac{2}{3}$$

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底の変換公式
今回は底の変換公式について解説していきます。底を自由に変えることができるので、使い方をおさえておきましょう。

 

対数関数の式の値

問題\(a=\log_{10}2~,~b=\log_{10}3\) とするとき、次の式を \(a~,~b\) を用いて表せ。$${\small (1)}~\log_{10}24$$$${\small (2)}~\log_{10}5$$$${\small (3)}~\log_{2}3$$

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【解答】$${\small (1)}~3a+b~~~~~~~~~{\small (2)}~1-a$$$${\small (3)}~\frac{b}{a}$$

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対数関数の式の値
今回は対数関数の式の値について解説していきます。対数の真数部分をかけ算やわり算の形に式変形して、複数の対数に分けましょう。

 

対数関数のグラフ

問題次の関数のグラフを描け。$${\small (1)}~y=\log_{2}x$$$${\small (2)}~y=\log_{\large \frac{1}{2}}x$$

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対数関数のグラフ
対数関数のグラフについて解説していきます。底の値によって、グラフの概形が変わる事に注意しましょう。

 

指数関数と対数関数のグラフの位置関係

問題関数 \(y=\log_{3}x\) のグラフと次のグラフの位置関係を答えよ。$${\small (1)}~y=\log_{\large \frac{1}{3}}x$$$${\small (2)}~y=\log_{3}(-x)$$$${\small (3)}~y=3^x$$

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【解答】
\({\small (1)}\) \(x\) 軸に対して対称移動したグラフとなります。
\({\small (2)}\) \(y\) 軸に対して対称移動したグラフとなります。
\({\small (3)}\) \(y=x\) に対して対称移動したグラフとなります。

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指数関数と対数関数のグラフの位置関係
指数関数と対数関数のグラフの位置関係について解説していきます。それぞれのグラフからどのような関係となっているか読み取りましょう。

 

対数の大小比較

問題次の各数値を小さい順に並べよ。$${\small (1)}~\log_{0.2}30~,~\log_{0.2}3~,~\log_{0.2}0.3$$$${\small (2)}~3+\log_{3}2~,~2\log_{3}8~,~4$$

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【解答】$${\small (1)}~\log_{0.2}30<\log_{0.2}3<\log_{0.2}0.3$$$${\small (2)}~3+\log_{3}2<2\log_{3}8<4$$

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対数の大小比較
対数の大小比較について解説していきます。指数のときと同様に底の値に注意して解いていきましょう。

 

対数方程式

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~\log_{2}(x-1)=3$$$${\small (2)}~\log_{2}x+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(10-x)$$

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【解答】$${\small (1)}~x=9~~~~~~~~~{\small (2)}~x=2$$

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対数方程式
今回は対数方程式について解説していきます。真数条件を忘れないようにしましょう。

 

対数不等式

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~\log_{\large \frac{1}{2}}(x-2)≧1$$$${\small (2)}~\log_{3}(x-3)+\log_{3}(x-5)≦1$$

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【解答】$${\small (1)}~2<x≦\frac{5}{2}$$$${\small (2)}~5<x≦6$$

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対数不等式
対数不等式について解説していきます。両辺を同じ底の対数で表して、底の値に注意して真数部分のみを比較しましょう。

 

対数を含む2次式

問題次の方程式、不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~2(\log_{2}x)^2+3\log_{2}x-2=0$$$${\small (2)}~(\log_{3}x)^2-\log_{3}x-6≧0$$

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【解答】$${\small (1)}~x=\sqrt{2}~,~\frac{1}{4}$$$${\small (2)}~0<x≦\frac{1}{9}~,~27≦x$$

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対数を含む2次式
対数を含む2次方程式や2次不等式について解説していきます。真数条件を考えて、置き換えをして解きましょう。

 

対数を含む関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=2\log_{2}x-(\log_{2}x)^2~~~(1≦x≦8)$$

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【解答】
 \(x=2\) のとき、最大値 \(1\)
 \(x=8\) のとき、最小値 \(-3\)

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対数を含む関数の最大値・最小値
今回は対数を含む関数の最大値・最小値について解説していきます。置き換えを行い2次関数として解きましょう。

 

常用対数(桁数問題・小数第何位)

問題\(\log_{10}2=0.3010~,~\log_{10}3=0.4771\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(2^{50}\) は何桁の整数か答えよ。
\({\small (2)}\) \(0.3^{50}\) は小数第何位で初めて0でない数が現れるか答えよ。

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【解答】
\({\small (1)}\) \(16\) 桁の整数となります。
\({\small (2)}\) 小数第 \(27\) 位で初めて0でない数が現れます。

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常用対数(桁数問題・小数第何位)
常用対数を用いた何桁の整数かや小数第何位に初めて0でない数が現れるかの問題について解説していきます。解法の手順を覚えておきましょう。