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指数関数を含む2次不等式

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今回の問題は「指数関数を含む2次不等式」です。

問題次の不等式の解を求めよ。$$~~~4^x-3\cdot2^x+2<0$$

 

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指数関数を含む2次不等式の解法

Point:指数関数を含む2次不等式解法の手順は、
① 与えられた式を \(a^x=t\) と置き換えるための式変形をします。
例えば、$$~~~9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$$$$~~~2^{x+1}=2^x\cdot2^1=2\cdot2^x$$このような式変形をしましょう。
\(a^x=t\) として、\(t\) の2次不等式とします。ただし、\(a^x>0\) より \(t>0\) となることに注意しましょう。
③ \(t\) の2次不等式を解きます。この解と \(t>0\) の共通部分が解となります。
④ \(t=a^x\) と元に戻して、\(x\) の値の範囲を求めます。

 

問題解説:指数関数を含む2次不等式

問題次の不等式の解を求めよ。$$~~~4^x-3\cdot2^x+2<0$$

$$~~~4^x=(2^2)^x=(2^x)^2$$この式より与えられた式は、$$\hspace{ 10 pt}(2^x)^2-3\cdot2^x+2<0$$ここで、\(2^x=t\) とすると、\(t>0\) となります。よって、$$\hspace{ 10 pt}t^2-3t+2<0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(t-2)(t-1)<0$$この式をグラフで表すと、

グラフより、$$\hspace{ 10 pt}1<t<2$$これは \(t>0\) を満たします。
よって、\(t=2^x\) より、$$\hspace{ 10 pt}1<2^x<2$$\(1=2^0~,~2=2^1\) より、$$\hspace{ 10 pt}2^0<2^x<2^1$$底が \(1<2\) より指数部分のみを比較すると不等号の向きはそのままなので、$$\hspace{ 10 pt}0<x<1$$
よって、答えは \(0<x<1\) となります。

 

今回のまとめ

指数関数を含む2次不等式については、置き換えるための式変形の方法を覚えておきましょう。また、指数部分のみを比較するときは底の値に注意して不等号の向きを確認しましょう。

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