このページは「高校数学B:平面ベクトル」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
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【問題一覧】数学B:平面ベクトル
ベクトルの基本
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{\rm AB}\) と大きさが等しく始点が \({\rm O}\) のベクトル。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{\rm AB}\) と向きが同じベクトル。
\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{\rm AB}\) と等しいベクトル。
\({\small (4)}\) \(\overrightarrow{\rm AB}\) と逆ベクトルの関係のベクトル。
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【解答】$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OA}~,~ \overrightarrow{\rm OB}~,~ \overrightarrow{\rm OC}~,~ \overrightarrow{\rm OD}~,~ \overrightarrow{\rm OE}~,~ \overrightarrow{\rm OF}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm FO}~,~ \overrightarrow{\rm OC}~,~ \overrightarrow{\rm FC}~,~\overrightarrow{\rm ED}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm FO}~,~ \overrightarrow{\rm OC}~,~ \overrightarrow{\rm ED}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BA}~,~ \overrightarrow{\rm CO}~,~ \overrightarrow{\rm OF}~,~\overrightarrow{\rm DE}$$
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ベクトルの実数倍・加法・減法
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ベクトルの等式証明
ベクトルの演算
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【解答】$${\small (1)}~5\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~-\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$$
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ベクトルの分解(正六角形のベクトル)
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【解答】$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{x}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}=-\overrightarrow{y}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}$$$${\small (5)}~\overrightarrow{\rm BE}=2\overrightarrow{y}$$$${\small (6)}~\overrightarrow{\rm BD}=\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$$
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ベクトルの成分と大きさ
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) の大きさを求めよ。
\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (4)}\) \(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{10}$$$${\small (2)}~\sqrt{34}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{17}$$$${\small (4)}~2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-7~,~7)$$$$~~~|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|=7\sqrt{2}$$
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ベクトルの成分と式変形
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{c}\) を \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\) の形で表せ。
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【解答】$${\small (1)}~\overrightarrow{d}=\left( -5~,~\frac{5}{2} \right)$$$${\small (2)}~\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$
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ベクトルの成分と平行条件
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}=(1~,~3)\) と平行な単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) を成分で表せ。
\({\small (2)}\) 2つのベクトル \(\overrightarrow{b}=(x~,~2)\) と \(\overrightarrow{c}=(-1~,~x-3)\) が平行になるとき、\(x\) の値を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~\overrightarrow{e}=\left( \frac{1}{\sqrt{10}}~,~\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$$$$\hspace{ 32 pt}\left( -\frac{1}{\sqrt{10}}~,~-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$$$${\small (2)}~x=1~,~2$$
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点の座標とベクトルの成分
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【解答】$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OA}=(3~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OA}|=5$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}=(2~,~-1)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{5}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AC}=(-6~,~-2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm AC}|=2\sqrt{10}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BC}=(-5~,~3)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{34}$$
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平行四辺形とベクトル
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【解答】$$~~~(-2~,~7)~,~(-4~,~-3)~,~(8~,~1)$$
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ベクトルの内積①(基本)
\({\small (1)}\) \(|\overrightarrow{a}|=3~,~|\overrightarrow{b}|=4\) として、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(\theta\) が以下の値のとき、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求めよ。$$~{\large ①}~\theta=30^\circ~~~~~~~~{\large ②}~\theta=60^\circ$$$$~{\large ③}~\theta=90^\circ~~~~~~~~{\large ④}~\theta=135^\circ$$\({\small (2)}\) 1辺の長さが \(3\) の正三角形 \({\rm ABC}\) と辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}\) について、次の内積を求めよ。$$~{\large ①}~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}~~~~~~~~{\large ②}~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AM}$$$$~{\large ③}~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm BC}~~~~~~~~{\large ④}~\overrightarrow{\rm BM}\cdot\overrightarrow{\rm BC}$$
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【解答】$${\small (1)}$$$$~{\large ①}~6\sqrt{3}$$$$~{\large ②}~6$$$$~{\large ③}~0$$$$~{\large ④}~-6\sqrt{2}$$$${\small (2)}$$$$~{\large ①}~\frac{9}{2}$$$$~{\large ②}~\frac{27}{4}$$$$~{\large ③}~-\frac{9}{2}$$$$~{\large ④}~\frac{9}{2}$$
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ベクトルの内積②(成分利用)
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【解答】$${\small (1)}~1$$$${\small (2)}~-11$$$${\small (3)}~-12$$
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ベクトルのなす角
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【解答】$${\small (1)}~60^\circ$$$${\small (2)}~135^\circ$$
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ベクトルの垂直条件
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}=(1~,~3)\) に垂直な単位ベクトルを成分で表せ。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{b}=(2~,~-1)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{5}\) のベクトルの成分で表せ。
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【解答】$${\small (1)}~\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}~,~\frac{1}{\sqrt{10}}\right)~,~\left(\frac{3}{\sqrt{10}}~,~-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$$${\small (2)}~(1~,~2)~,~(-1~,~-2)$$
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内積の性質を用いた等式証明
内積の性質の利用(ベクトルの大きさと内積)
\({\small (1)}\) \(|\overrightarrow{a}|=2~,~|\overrightarrow{b}|=1\) で \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(120^\circ\) のとき、ベクトル \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
\({\small (2)}\) \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}~,~|\overrightarrow{b}|=1~,~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{21}$$$${\small (2)}~30^\circ$$
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内分点・外分点の位置ベクトル
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) の中点
\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分する点
\({\small (3)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に外分する点
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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$
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重心の位置ベクトル
3点が同一直線上にある条件
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2直線の交点のベクトル
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【解答】$$~~~\overrightarrow{\rm OF}=\frac{2}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$
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ベクトルと三角形の面積
\({\small (1)}\) 3点 \({\rm O~,~A~,~B}\) について、\(|\overrightarrow{\rm OA}|=4\) \(,\) \(|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{5}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=2\sqrt{5}\) のとき、 \(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求めよ。
\({\small (2)}\) 3点 \({\rm O}=(0~,~0)\) \(,\) \({\rm A}=(3~,~4)\) \(,\) \({\rm B}=(2~,~-1)\) を頂点とする \(\triangle {\rm OAB}\) の面積を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{15}$$$${\small (2)}~\frac{11}{2}$$
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直線のベクトル方程式
\({\small (1)}\) 点 \({\rm A}(3~,~4)\) を通り、\(\overrightarrow{d}=(2~,~-1)\) が方向ベクトルである直線の方程式を媒介変数表示で表せ。また、媒介変数を消去した式で表せ。
\({\small (2)}\) 2点 \({\rm A}(1~,~3)~,~{\rm B}(-2~,~1)\) を通る直線の媒介変数表示で表せ。また、媒介変数を消去した式で表せ。
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【解答】$${\small (1)}~\biggl\{~ \begin{eqnarray} x=3+2t \\ y=4-t\end{eqnarray}$$$$~~~x+2y-11=0$$$${\small (2)}~\biggl\{~ \begin{eqnarray} x=1-3t \\ y=3-2t \end{eqnarray}$$$$~~~2x-3y+7=0$$
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ベクトルと点の存在範囲
法線ベクトル
\({\small (1)}\) 点 \({\rm A}(1~,~3)\) を通り、\(\overrightarrow{n}=(-2~,~1)\) が法線ベクトルである直線の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) 次の2直線のなす角 \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦90^\circ\) とする。
\(~~~~3x+2y-1=0~,~5x-y+7=0\)
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【解答】$${\small (1)}~2x-y+1=0$$$${\small (2)}~45^\circ$$
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円のベクトル方程式