Twitterフォローよろしくお願いします!

【問題一覧】数学B:数列

スポンサーリンク
スポンサーリンク

このページは「高校数学B:数列」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

教科書より詳しい高校数学「よりくわ」の公式Line@アカウントです。キーワードを入力するとサイトのURLや公式の画像などを検索できますので、友達登録よろしくお願いします!

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

【問題一覧】数学B:数列

数列の基本と一般項

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 一般項が \(a_n=3n-1\) の数列 \(\{a_n\}\) の初項から第5項までを答えよ。
\({\small (2)}\) 次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を推定せよ。
\(~{\large ①}~~3~,~5~,~7~,~9~,~11~,~\cdots\)
\(~{\large ②}~~-3~,~9~,-27~,~81~,-243~,~\cdots\)

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_1=2~,~a_2=5~,~a_3=8$$$$~~~~~~a_4=11~,~a_5=14$$$${\small (2)}~{\large ①}~2n+1~~~~~~{\large ②}~(-3)^n$$

詳しい解説ページはこちらから↓

数列の基本と一般項
今回は数列の基本についてと、一般項を推定する方法を解説していきます。用語もしっかりと覚えておきましょう。

 

等差数列

問題次の数列の一般項と第5項を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(1\)、公差が \(3\)
\({\small (2)}\) 公差が \(2\)、第10項が \(23\)
\({\small (3)}\) 初項が \(50\)、第10項が \(23\)
\({\small (4)}\) 第4項が \(7\)、第10項が \(-5\)

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=3n-2~,~a_5=13$$$${\small (2)}~a_n=2n+3~,~a_5=13$$$${\small (3)}~a_n=-3n+53~,~a_5=38$$$${\small (4)}~a_n=-2n+15~,~a_5=5$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等差数列
隣り合う2つの項の差が一定の値である数列の等差数列について解説していきます。公式を覚えるのではなく、どのような数列かを考えて解きましょう。

 

等差数列の性質

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 一般項が \(a_n=3n-1\) で表される数列 \(\{a_n\}\) はどのような数列か答えよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x-4~,~6~,~x+2\) がこの順に等差数列となるとき、\(x\) の値を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)初項 \(2\) で、公差 \(3\) の等差数列$${\small (2)}~x=7$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等差数列の性質
今回は等差数列の2つの性質について解説していきます。どちらの性質も計算方法も含めて覚えておきましょう。

 

等差数列の和

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(2\)、公差が \(3\)、項数が \(10\) である等差数列の和を求めよ。
\({\small (2)}\) 初項が \(7\)、末項が \(23\)、項数が \(8\) である等差数列の和を求めよ。
\({\small (3)}\) 初項が \(5\)、初項から第10項までの和が \(-40\) である等差数列の一般項を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~155~~~~~~{\small (2)}~120$$$${\small (3)}~a_n=-2n+7$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等差数列の和
今回は等差数列の和について解説していきます。2つの公式について、それぞれどの値を用いるかも覚えておきましょう。

 

等差数列の和の最大値

問題初項 \(13\)、公差 \(-2\) の等差数列において、初めて負の項となる項は第何項目か答えよ。また、この数列の和の最大値を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
初めて負の値となるのは第 \(8\) 項目であり、数列の和の最大値は \(49\)

詳しい解説ページはこちらから↓

等差数列の和の最大値
等差数列の和が第何項目まで加えたときに最大となるかの問題を解説していきます。数列の項の正負が入れ替わる番号を調べましょう。

 

自然数の数列

問題次の自然数の数列の和を求めよ。
\({\small (1)}\) \(1\) から \(50\) までの自然数の和
\({\small (2)}\) \(1\) から \(100\) までの偶数の和
\({\small (3)}\) 2桁の3の倍数の和
\({\small (4)}\) \(1\) から \(50\) までの自然数のうち、5の倍数でない数列の和

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~1275~~~~~~{\small (2)}~2550$$$${\small (3)}~1665~~~~~~{\small (4)}~1000$$

詳しい解説ページはこちらから↓

自然数の数列
自然数やその倍数の数列の和について解説していきます。それぞれ「初項、末項、項数」を調べて等差数列の和の公式より求めましょう。

 

等比数列

問題次の数列の一般項と第6項を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(3\)、公比が\(2\)
\({\small (2)}\) 公比が \(3\)、第4項が \(135\)
\({\small (3)}\) 初項が \(24\)、第3項が \(6\)
\({\small (4)}\) 第2項が \(12\)、第5項が \(96\)

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=3\cdot 2^{n-1}~,~a_6=96$$$${\small (2)}~a_n=5\cdot 3^{n-1}~,~a_6=1215$$$${\small (3)}~a_n=24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}~,~a_6=-\frac{3}{4}$$$${\small (4)}~a_n=6\cdot 2^{n-1}~,~a_6=192$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等比数列
今回は隣り合う2つの項の商が一定である数列の等比数列について解説していきます。公式はその意味も合わせて覚えておきましょう。

 

等比数列になる条件

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 3つの数 \(98~,~14~,~x\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x\) の値を求めよ。
\({\small (2)}\) 3つの数 \(x~,~y~,~3\) がこの順に等差数列となり、3つの数 \(5~,~x~,~45\) がこの順に等比数列となるとき、実数 \(x~,~y\) の値を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~x=2$$\({\small (2)}~\)\(x=15~,~y=9\) または \(x=-15~,~y=-6\)

詳しい解説ページはこちらから↓

等比数列になる条件
3つの項がこの順に等比数列となる条件について解説していきます。等差数列のときの公式と間違えないようにしましょう。

 

等比数列の和

問題次の等比数列の和を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項が \(3\)、公比が \(2\)、項数が \(10\)
\({\small (2)}\) 初項が \(5\)、公比が \(1\)、項数が \(20\)
\({\small (3)}\) 初項が \(27\)、公比が \(-2\)、項数が \(6\)

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~3069~~~~~~{\small (2)}~100~~~~~~{\small (3)}~-567$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等比数列の和
等比数列の和について解説していきます。初項、公比、項数より等比数列の和の公式を使いましょう。

 

和が与えられた等比数列

問題次の等比数列の初項と公比を求めよ。
\({\small (1)}\) 初項から第3項までの和が \(21\)、第4項から第6項までの和が \(168\)
\({\small (2)}\) 初項から第3項までの和が \(35\)、第3項が \(20\)

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)初項 \(3\)、公比 \(2\)
\({\small (2)}~\)初項 \(45\)、公比 \(-\large{\frac{2}{3}}\) または、初項 \(5\)、公比 \(2\)

詳しい解説ページはこちらから↓

和が与えられた等比数列
和の値が与えられた等比数列についての問題を解説していきます。それぞれの条件より式を立て、連立して未知数を求めましょう。

 

和の記号シグマと累乗の和

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の数列の和を記号シグマを用いないで、各項を書き並べて表せ。また、その和を求めよ。$$~{\large ①}~\sum_{k=1}^{5} 2^k~~~~~~~~~~{\large ②}~\sum_{k=1}^{n}(5k-3)$$\({\small (2)}\) 次の数列を記号シグマを用いて表せ。また、その和を求めよ。$$~{\large ①}~1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$$$$~{\large ②}~1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~62~~~~~~{\large ②}~\frac{1}{2}n(5n-1)$$$${\small (2)}~{\large ①}~\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)~~~~~~{\large ②}~3025$$

詳しい解説ページはこちらから↓

和の記号シグマと累乗の和
今回は数列の和の記号であるシグマ記号について解説していきます。まずはシグマ記号の意味を理解しておきましょう。

 

シグマ記号の計算

問題次の和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{k=1}^{20}(4k+3)$$$${\small (2)}~\sum_{k=1}^{5}(k^3-k^2)$$$${\small (3)}~\sum_{k=1}^{10}2^k$$$${\small (4)}~\sum_{k=1}^{n} k(3k+1)$$$${\small (5)}~\sum_{k=1}^{n} (2k^2-4k-3)$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~900~~~~~~{\small (2)}~170~~~~~~{\small (3)}~2046$$$${\small (4)}~n(n+1)^2~~~~~~{\small (5)}~\frac{1}{3}n(2n-7)(n+2)$$

詳しい解説ページはこちらから↓

シグマ記号の計算
シグマ記号の計算について解説していきます。今回は記号の性質と計算方法を見ていきましょう。

 

分数数列の和

問題次の数列の和を求めよ。$${\small (1)}~\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)}$$$${\small (2)}~\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~\frac{20}{21}~~~~~~{\small (2)}~ \frac{2n}{2n+1}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

分数数列の和
今回は分数数列の和について解説していきます。この和の計算はシグマ記号の計算では溶けないので、解法の手順を覚えておきましょう。

 

等差数列✕等比数列の和

問題次の数列の和を求めよ。$$~S=1+2\cdot2+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}$$
[ 解答を見る ]

【解答】$$~~~~S=(n-1)2^n+1$$

詳しい解説ページはこちらから↓

等差数列×等比数列の和
今回は特別な数列である等差数列✕等比数列の和の求め方について解説していきます。解法の手順を覚えておきましょう。

 

一般項が数列の和となる数列

問題次の数列の第 \(k\) 項を求めて、初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。$$~~~1~,~1+4~,~1+4+7~,~\cdots~,~$$$$\hspace{ 40 pt}1+4+7+\cdots+3n-2$$

[ 解答を見る ]

【解答】
第 \(k\) 項が、$$~~~ \frac{1}{2}k(3k-1)$$初項から第 \(n\) 項までの和は、$$~~~ \frac{1}{2}n^2(n+1)$$

詳しい解説ページはこちらから↓

一般項が数列の和となる数列
今回は一般項が数列の和となっている数列の問題について解説していきます。まずは、一般項を和の公式などを用いて計算しましょう。

 

数列の和と一般項の関係

問題数列の和が次の式のとき、この数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~S_n=3n^2-n$$$${\small (2)}~S_n=2^n-1$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=6n-4~~~~~~{\small (2)}~a_n=2^{n-1}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

数列の和と一般項の関係
数列の和の式が与えられたときの一の求め方を解説していきます。場合分けの方法と手順を覚えておきましょう。

 

階差数列

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~\{a_n\}=\{ 3~,~5~,~9~,~17~,~33~,~\cdots\}$$$${\small (2)}~\{a_n\}=\{ 5~,~8~,~13~,~20~,~29~,~\cdots\}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=2^n+1~~~~{\small (2)}~a_n=n^2+4$$

詳しい解説ページはこちらから↓

階差数列
今回は階差数列について解説していきます。どのような数列であるかと、一般項の求め方を押さえておきましょう。

 

群数列

問題次の群数列について、以下の問いに答えよ。$$~2~|~4~,~6~,~8~|~10~,~12~,~14~,~16~,~18~|~\cdots$$\({\small (1)}~\)第 \(n\) 群の最初の項を求めよ。
\({\small (2)}~\)第 \(n\) 群のすべての項の和を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~ 2n^2-4n+4$$$${\small (2)}~2(2n-1)(n^2-n+1)$$

詳しい解説ページはこちらから↓

群数列
数列を規則性にしたがって群に分けた数列を群数列といいます。少し難しい数列となりますが、解法の手順を覚えておきましょう。

 

漸化式(基本解法)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3$$$${\small (2)}~a_1=3~,~a_{n+1}=5a_n$$$${\small (3)}~a_1=6~,~a_{n+1}=a_n+2n-1$$$${\small (4)}~a_1=2~,~a_{n+1}=a_n+3^n$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=3n-1$$$${\small (2)}~a_n=3\cdot5^{n-1} $$$${\small (3)}~a_n=n^2-2n+7$$$${\small (4)}~a_n=\frac{3^n+1}{2}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

漸化式①(基本解法)
漸化式について解説していきます。与えられた漸化式より、どのような数列になるかを判断して解いていきましょう。

 

漸化式②(特性方程式)

問題次の数列の一般項を求めよ。$${\small (1)}~a_1=6~,~a_{n+1}=5a_n-4$$$${\small (2)}~a_1=1~,~a_{n+1}=3a_n+1$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a_n=5^n+1$$$${\small (2)}~a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)$$

詳しい解説ページはこちらから↓

漸化式②(特性方程式)
特性方程式を用いる漸化式を解説していきます。式変形の方法と等比数列として解くことを覚えておきましょう。

 

図形と漸化式

問題平面上に \(n\) 本の直線があり、どの2本も平行ではなく、またどの3本も1点で交わらないとき、\(n\) 本の直線によってできる交点の個数を \(a_n\) とするとき、\(a_n\) を \(n\) の式で表せ。

[ 解答を見る ]

【解答】$$~~~a_n=\frac{1}{2}n(n-1)$$

詳しい解説ページはこちらから↓

図形と漸化式
今回は図形の性質より漸化式をつくる問題について解説していきます。図形の性質より、漸化式をつくる手順を押さえておきましょう。

 

数学的帰納法①(等式)

問題\(n\) を自然数とするとき、次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ。$$~1\cdot3+2\cdot5+3\cdot7+\cdots+n(2n+1)$$$$\hspace{ 75 pt}=\frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)$$

[ 解答を見る ]

詳しい解説ページはこちらから↓

数学的帰納法①(等式)
今回は数学的帰納法について解説していきます。ここでは数学的帰納法の基本的な証明手順と、等式の証明の式変形を押さえておきましょう。

 

数学的帰納法②(不等式)

問題\(n\) を3以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~2^n>3n+2$$

[ 解答を見る ]

詳しい解説ページはこちらから↓

数学的帰納法②(不等式)
今回は不等式を数学的帰納法を用いて証明する問題を解説していきます。不等式の条件式の使い方を覚えておきましょう。

 

数学的帰納法③(整数の性質)

問題\(n\) を自然数とするとき、\(2n^2+2n\) が \(4\) の倍数となることを数学的帰納法によって証明せよ。

[ 解答を見る ]

詳しい解説ページはこちらから↓

数学的帰納法③(整数の性質)
今回の数学的帰納法は命題が整数の性質のときの問題について解説していきます。命題よりどのような条件式を作るかがポイントとなります。

 

数学的帰納法④(漸化式)

問題次の数列の一般項を推定して、数学的帰納法によって証明し求めよ。$$~~~a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}~,~a_1=\frac{1}{2}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$$~~~a_n=\frac{1}{n+1}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

数学的帰納法④(漸化式)
今回は漸化式より一般項を求めるとき、一般項を推定して数学的帰納法によって証明する問題を解説していきます。解法の手順を覚えておきましょう。