【問題一覧】数学Ⅰ：２次関数

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【問題一覧】数学Ⅰ：２次関数

【問題一覧】数学Ⅰ：２次関数

関数の値と象限

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$関数 $f(x)=2x-3$ について、次の関数の値を求めよ。$$~~~{\large ①}~f(2)~~~~~~{\large ②}~f(3a)~~~~~~{\large ③}~f(a-1)$$${\small (2)}~$次の点は第何象限の点か答えよ。$$~~~{\large ①}~(-2,-3)~~~~{\large ②}~(-5,1)~~~~{\large ③}~(1,-4)$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~f(2)=1~~~~~~{\large ②}~f(3a)=6a-3$$$$~~~~~{\large ③}~f(a-1)=2a-5$$${\small (2)}~$${\large ①}~$第３象限　　${\large ②}~$第２象限
　$~{\large ③}~$第４象限

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関数の値と象限

今回は関数の表し方と関数の値について解説していきます。関数についての基本を整理しておきましょう。

関数の値域と最大値・最小値

問題次の関数の値域を求めよ。また、最大値と最小値があれば答えよ。$${\small (1)}~y=2x-3~~~(1≦x)$$$${\small (2)}~y=-2x+3~~~(-1≦x≦5)$$$${\small (3)}~y=2x-3~~~(-1≦x≦5)$$$${\small (4)}~y=-2x+3~~~(-3≦x<2)$$

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【解答】
${\small (1)}~$値域は $-1≦y$
　最大値はなし、
　$x=1$ のとき、最小値は $-1$
${\small (2)}~$値域は $-7≦y≦5$
　$x=-1$ のとき、最大値は $5$
　$x=5$ のとき、最小値は $-7$
${\small (3)}~$値域は $-5≦y≦7$
　$x=5$ のとき、最大値は $7$
　$x=-1$ のとき、最小値は $-5$
${\small (4)}~$値域は $-1<y≦9$
　$x=-3$ のとき、最大値は $9$
　最小値はなし

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関数の値域と最大値・最小値

今回は関数の定義域と値域について解説していきます。最大値と最小値の求め方も押さえておきましょう。

２次関数のグラフ

問題次の関数のグラフをかけ。$${\small (1)}~y=2x^2$$$${\small (2)}~y=2(x-1)^2$$$${\small (3)}~y=2x^2-3$$$${\small (4)}~y=2(x-1)^2-3$$

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【解答】
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

${\small (4)}~$

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２次関数のグラフ

２次関数のグラフについて解説していきます。頂点の位置を確認してグラフを描けるようになりましょう。

２次関数の平方完成

問題次の関数の頂点と軸の方程式を求め、グラフをかけ。$${\small (1)}~y=x^2-4x+3$$$${\small (2)}~y=2x^2+12x+13$$$${\small (3)}~y=-3x^2+2x+1$$

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【解答】
${\small (1)}~$頂点と軸は、$$~~~(2,-1)~~,~~x=2$$
${\small (2)}~$頂点と軸は、$$~~~(-3,-5)~~,~~x=-3$$
${\small (3)}~$頂点と軸は、$$~~~\left( \frac{1}{3},\frac{4}{3} \right)~~,~~x=\frac{1}{3}$$

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２次関数の平方完成

今回は２次関数の平方完成について解説していきます。解法の手順をしっかりと覚えておきましょう。

２次関数のグラフの平行移動

問題放物線 $y=2x^2+12x+20$ のグラフは、放物線 $y=2x^2+4x-6$ のグラフをどのように平行移動させると重なるか答えよ。

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【解答】
　$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $10$ だけ平行移動

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２次関数のグラフの平行移動

今回は２次関数のグラフの平行移動について解説していきます。２つの２次関数の頂点の位置関係を調べましょう。

平行移動後のグラフ

問題放物線 $y=2x^2-5x+1$ のグラフを、$x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動させた放物線の方程式を求めよ。

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【解答】$$~~~~y=2x^2-9x+5$$

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平行移動後のグラフ

今回は関数の平行移動後のグラフの方程式の求め方を解説していきます。２次関数だけでなく、様々な関数で使えますので、しっかりと覚えておきましょう。

グラフの対称移動

問題放物線 $y=2x^2-5x+1$ のグラフを次のように移動させた放物線の方程式を求めよ。

${\small (1)}~$$x$ 軸に対して対称移動

${\small (2)}~$$y$ 軸に対して対称移動

${\small (3)}~$原点に対して対称移動

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【解答】$${\small (1)}~y=-2x^2+5x-1$$$${\small (2)}~y=2x^2+5x+1$$$${\small (3)}~y=-2x^2-5x-1$$

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グラフの対称移動

今回は関数の対称移動後のグラフの方程式について解説していきます。それぞれの移動後の位置と解法を覚えておきましょう。

２次関数の決定①（頂点）

問題次の条件を満たす２次関数を求めよ。

${\small (1)}~$頂点が $(2,3)$ で、点 $(1,5)$ を通る。

${\small (2)}~$軸が $x=1$ で、２点 $(2,4)~,~(-1,1)$ を通る。

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【解答】$${\small (1)}~y=2(x-2)^2+3$$$${\small (2)}~y=-(x-1)^2+5$$

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２次関数の決定①（頂点）

２次関数の決定について解説していきます。今回は頂点や軸が条件となります。どの２次関数の式を使うかを覚えておきましょう。

２次関数の決定②（３点を通る）

問題３点 $(1,3)$ $,$ $(2,3)$ $,$ $(3,1)$ を通る２次関数を求めよ。

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【解答】$$~~~~y=-x^2+3x+1$$

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２次関数の決定②（３点を通る）

３点を通ることが条件の２次関数の決定について解説していきます。用いる式を覚えておきましょう。

２次関数の最大値・最小値

問題次の関数の最大値と最小値があれば求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。$${\small (1)}~y=x^2+5x$$$${\small (2)}~y=x^2-2x+6~~~(0≦x≦3)$$$${\small (3)}~y=-x^2+6x-4~~~(-1≦x≦4)$$

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【解答】
${\small (1)}$ 最大値なし
最小値は、$$~~~-\frac{25}{4}~~~\left(x=-\frac{5}{2}\right)$$${\small (2)}$ 最大値が$$~~~9~~~(x=3)$$最小値が$$~~~5~~~(x=1)$$${\small (3)}$ 最大値が$$~~~5~~~(x=3)$$最小値が$$~~~-11~~~(x=-1)$$

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２次関数の最大値・最小値

今回は２次関数の最大値・最小値について解説していきます。グラフを用いて視覚的に解く方法を覚えておきましょう。

２次関数の決定③（最大値・最小値）

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の２次関数の最大値が $5$ のとき、$k$ の値を求めよ。$$~~~y=-x^2+4x+k$$${\small (2)}$ 次の２次関数の最大値が $3$ のとき、$k$ の値とこの関数の最小値を求めよ。$$~~~y=x^2+2x+k~~~(-2≦x≦2)$$

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【解答】$${\small (1)}~k=1$$$${\small (2)}~k=-5$$最小値は、$$~~~-6~~~(x=-1)$$

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２次関数の決定③（最大値・最小値）

最大値・最小値が条件として与えられたときの２次関数の決定について解説していきます。２次関数の最大値・最小値の基本はグラフを簡易的に描くことです！

最大値・最小値の文章問題

問題$12$ cmの針金について、次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ この針金で長方形を作り面積を最大にするとき、その面積の最大値を求めよ。
${\small (2)}$ この針金を２つに分けて、２つの正方形を作る。このとき、２つの正方形の面積の和を最小にするにはどのように針金を分ければよいか答えよ。

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【解答】
${\small (1)}$ 面積の最大値 $9$
${\small (2)}$ 針金を $6$ cmずつに分ければよい

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最大値・最小値の文章問題

今回は２次関数の最大値・最小値の文章問題について解説していきます。x とする数値の選択と図形を描くことに注意して問題を解いていきましょう。

文字係数を含む２次関数の最大値・最小値

問題$a$ を定数とするとき、次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^2-2ax+5~~~(0≦x≦4)$$

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【解答】
最大値が
( ⅰ ) $a<2$ のとき$$~~~21-8a~~~(x=4)$$( ⅱ ) $a=2$ のとき$$~~~5~~~(x=0~,~4)$$( ⅲ ) $a>2$ のとき$$~~~5~~~(x=0)$$最小値が
( ⅰ ) $a<0$ のとき$$~~~5~~~(x=0)$$( ⅱ ) $0≦a≦4$ のとき$$~~~-a^2+5~~~(x=a)$$( ⅲ ) $a>4$ のとき$$~~~21-8a~~~(x=4)$$

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文字係数を含む２次関数の最大値・最小値

今回は文字係数を含む２次関数の最大値・最小値についてがしていきます。場合分けの方法を覚えておきましょう。

定義域が変化する２次関数の最大値・最小値

問題$a$ を正の定数とするとき、次の２次関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^2-4x+3~~~(0≦x≦a)$$

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【解答】
最大値が
( ⅰ ) $0 < a < 4$ のとき$$~~~3~~~(x=0)$$( ⅱ ) $a=4$ のとき$$~~~3~~~(x=0~,~a)$$( ⅲ ) $a>4$ のとき$$~~~a^2-4a+3~~~(x=a)$$最小値が
( ⅰ ) $0 < a < 2$ のとき$$~~~a^2-4a+3~~~(x=a)$$( ⅱ ) $a≧2$ のとき$$~~~-1~~~(x=2)$$

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定義域が変化する２次関数の最大値・最小値

今回は定義域の変化する２次関数の最大値・最小値を解説していきます。定義域がどのように変化するかを考えて、場合分けをしていきましょう。

２次方程式の解

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x-5=0$$$${\small (2)}~2x^2+5x-3=0$$$${\small (3)}~2x^2-5x+1=0$$$${\small (4)}~x^2-4x+1=0$$

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【解答】$${\small (1)}~x=-1~,~5$$$${\small (2)}~x=\frac{1}{2}~,~-3$$$${\small (3)}~x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}$$$${\small (4)}~x=2\pm\sqrt{3}$$

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２次方程式の解

２次方程式の解の求め方について解説していきます。因数分解できるかどうかを確認して、解法を選択できるようになりましょう。

２次方程式の解の個数

問題次の２次方程式の解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^2-5x+9=0$$$${\small (2)}~9^2-12x+4=0$$$${\small (3)}~2x^2-3x+1=0$$

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【解答】
${\small (1)}$ 解なし
${\small (2)}$ 重解
${\small (3)}$ 異なる２つの実数解

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２次方程式の解の個数

２次方程式の解の個数についての問題を解説していきます。判別式の計算方法と個数に対応する条件を押さえておきましょう。

２次方程式の解の条件

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の２次方程式が２つの実数解をもつとき、$k$ の値の範囲を求めよ。$$~~~x^2-2x+k-2=0$$${\small (2)}$ 次の２次方程式が重解をもつとき、$k$ の値を求めよ。$$~~~4x^2-12x+2k+5=0$$

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【解答】$${\small (1)}~k<3$$$${\small (2)}~k=2$$

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２次方程式の解の条件

前回に続いて２次方程式の解の個数についての問題で、解の個数が条件として与えれれている問題を解説していきます。個数の条件から条件式をすぐに判断できるようになりましょう。

解が与えられた２次方程式

問題次の２次方程式の解の１つが $x=2$ であるとき、$k$ の値ともう１つの解を求めよ。$$~~~2x^2+(k+2)x+2k=0$$

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【解答】$$~~~k=-3~,~x=-\frac{3}{2}$$

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解が与えられた２次方程式

今回は２次方程式の解が条件として与えられていて、係数を求める問題について解説していきます。条件の使い方と解法の手順を覚えておきましょう。

２次方程式の文章問題

問題ある正方形について、１辺の長さを $3$ だけ長しくて、もう１辺の長さを $2$ だけ長くした長方形の面積はもとの正方形の面積の２倍となる。このとき、もとの正方形の１辺の長さを求めよ。

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【解答】$$~~~x=6$$

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２次方程式の文章問題

２次方程式の文章問題について解説していきます。x とする数値の選び方とその値の範囲に注意して問題を解いていきましょう。

２次関数とx軸との交点

問題次の２次関数のグラフと $x$ 軸との交点の個数を求めよ。また、交点がある場合は、その座標を求めよ。$${\small (1)}~y=3x^2-7x+2$$$${\small (2)}~y=-x^2-2x-3$$$${\small (3)}~y=x^2-6x+9$$

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【解答】
${\small (1)}$ $x$ 軸と異なる２点で交わる。$$~~~\left(\frac{1}{3}~,~0\right)~,~(2~,~0)$$
${\small (2)}$ $x$ 軸と交わらない。
${\small (3)}$ $x$ 軸と異なる１点で交わる。（$x$ 軸と接する。）$$~~~(3~,~0)$$

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２次関数とx軸との交点

今回は２次関数と x 軸との交点について解説していきます。２次方程式として考えて、解の個数との対応関係を覚えておきましょう。

２次関数とx軸との交点の条件

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の２次関数が $x$ 軸と２点で交わるとき、$k$ の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-(2k-1)x+k^2$$${\small (2)}$ 次の２次関数が $x$ 軸と接するとき、$k$ の値と接点の座標を求めよ。$$~~~y=x^2-2kx+7k-6$$

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【解答】$${\small (1)}~k<\frac{1}{4}$$$${\small (2)}~k=1~,~x=1$$または$$~~~k=6~,~x=6$$

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２次関数とx軸との交点の条件

前回に続き２次関数と x 軸との交点についての問題について解説していきます。今回のパターンは x 軸との交点の個数が条件として与えられた場合の解法となります。判別式の条件を覚えておきましょう。

放物線と直線の交点

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の放物線と直線との交点の座標を求めよ。$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} y=x^2+5x-5 \\ y=2x+5 \end{eqnarray}$$${\small (2)}$ 次の放物線と直線が接するとき、$k$ の値と接点の座標を求めよ。$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} y=x^2+5x-5 \\ y=x-k \end{eqnarray}$$

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【解答】$${\small (1)}~(-5~,~-5)~,~(2~,~9)$$$${\small (2)}~k=9~,~(-2~,~-11)$$

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放物線と直線の交点

放物線と直線の交点について解説していきます。それぞれのグラフを表す式を連立した２次方程式より、座標や交点の個数を求めましょう。

２次不等式の解①（因数分解）

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-x-2<0$$$${\small (2)}~x^2-2x-15≧0$$$${\small (3)}~-x^2-7x-6<0$$$${\small (4)}~x^2+7x≦0$$

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【解答】$${\small (1)}~-1<x<2$$$${\small (2)}~x≦-3~,~5≦x$$$${\small (3)}~x<-6~,~-1<x$$$${\small (4)}~-7≦x≦0$$

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２次不等式の解①（因数分解）

今回から全４回で２次不等式の解について解説していきます。問題によって様々な解法があるので、どの解法を用いるかの判断ができるようになりましょう。

２次不等式の解②（x軸と接する）

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x+4<0$$$${\small (2)}~-x^2+4x-4≦0$$$${\small (3)}~x^2-4x+4≦0$$$${\small (4)}~-x^2+4x-4<0$$

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【解答】
${\small (1)}$ 解なし
${\small (2)}$ すべての実数
${\small (3)}$ $x=2$
${\small (4)}$ $x=2$ 以外のすべての実数

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２次不等式の解②（x軸と接する）

今回の２次不等式の解は因数分解できるが、グラフを描くと x 軸と接するようになる問題を見ていきましょう。

２次不等式の解③（解の公式）

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2+2x-2<0$$$${\small (2)}~2x^2-3x-1≧0$$$${\small (3)}~-x^2+3x-1>0$$

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【解答】$${\small (1)}~-1-\sqrt{3}<x<-1+\sqrt{3}$$$${\small (2)}~x≦\frac{3-\sqrt{17}}{4}~,~\frac{3+\sqrt{17}}{4}≦x$$$${\small (3)}~\frac{3-\sqrt{5}}{2}< x < \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

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２次不等式の解③（解の公式）

２次不等式の解を求めるときに、左辺が因数分解できないパターンを解説していきます。この場合でもグラフがどのようになっているかが重要となります。判別式を用いることを覚えておきましょう。

２次不等式の解④（交点がない）

問題次の不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2-4x+9≧0$$$${\small (2)}~-x^2+4x-9>0$$$${\small (3)}~x^2-4x+9≦0$$$${\small (4)}~-x^2+4x-9<0$$

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【解答】
${\small (1)}$ すべての実数
${\small (2)}$ 解なし
${\small (3)}$ 解なし
${\small (4)}$ すべての実数

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２次不等式の解④（交点がない）

今回は２次不等式の左辺が因数分解できないパターンで、グラフを描いたときに x 軸と交わらない問題について解説していきます。答えは丸暗記ではなく毎回グラフより読み取れるようになりましょう。

連立２次不等式の解

問題次の連立不等式の解を求めよ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} x^2+4x-5≦0 \\ x^2+3x>0 \end{eqnarray}$$$${\small (2)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} 2x^2-3x-9≦0 \\ x^2-2x+1>0 \end{eqnarray}$$

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【解答】$${\small (1)}~-5≦x<-3~,~0< x≦1$$$${\small (2)}~-\frac{3}{2}≦x<1~,~1< x≦3$$

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