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2次関数とx軸との交点

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今回の問題は「2次関数とx軸との交点」です。

問題次の2次関数のグラフと \(x\) 軸との交点の個数を求めよ。また、交点がある場合は、その座標を求めよ。$${\small (1)}~y=3x^2-7x+2$$$${\small (2)}~y=-x^2-2x+3$$$${\small (3)}~y=x^2-6x+9$$

 

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2次関数とx軸との交点の解法

Point:2次関数とx軸との交点2次関数 \(y=ax^2+bx+c\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標は、2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の値となります。
よって、2次方程式の解の判別式を \(D\) とすると、
( ⅰ ) \(D>0\) のとき
2次方程式の解が2個となるので、この2次関数は \(x\) 軸と2点で交わります。

 
( ⅱ ) \(D=0\) のとき
2次方程式の解が1個(重解)となるので、この2次関数は \(x\) 軸と接します。(交点が1個)

 
( ⅲ ) \(D<0\) のとき
2次方程式の解なしとなるので、この2次関数は \(x\) 軸と交点なしとなります。

 

問題解説:2次関数とx軸との交点

問題解説(1)

問題次の2次関数のグラフと \(x\) 軸との交点の個数を求めよ。また、交点がある場合は、その座標を求めよ。$${\small (1)}~y=3x^2-7x+2$$

\(3x^2-7x+2=0\) とすると、この2次方程式の判別式 \(D\) は、$$\hspace{ 10 pt}D=(-7)^2-4\cdot3\cdot2$$$$\hspace{ 20 pt}=49-24$$$$\hspace{ 20 pt}=25>0$$よって、\(D>0\) となるので、この2次関数は \(x\) 軸と異なる2点で交わります。
 
また、その交点の座標は、次の2次方程式を解くことで \(x\) 座標が求まります。$$\hspace{ 10 pt}3x^2-7x+2=0$$左辺を因数分解すると、たすき掛けの表より、
$$\hspace{ 10 pt}(3x-1)(x-2)=0$$よって、\(3x-1=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}3x-1=0$$移項して、 \(3\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}3x=1$$$$\hspace{ 15 pt}x=\frac{1}{3}$$また、\(x-2=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}x-2=0$$移項すると、$$\hspace{ 20 pt}x=2$$よって、交点の座標は$$~~~\left(\frac{1}{3}~,~0\right)~,~(2~,~0)$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の2次関数のグラフと \(x\) 軸との交点の個数を求めよ。また、交点がある場合は、その座標を求めよ。$${\small (2)}~y=-x^2-2x+3$$

\(-x^2-2x+3=0\) とすると、この2次方程式の判別式 \(D\) は、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)$$$$\hspace{ 20 pt}=4-12$$$$\hspace{ 20 pt}=-8<0$$よって、\(D<0\) となるので、この2次関数は \(x\) 軸と交わらないとなります。

 

問題解説(3)

問題次の2次関数のグラフと \(x\) 軸との交点の個数を求めよ。また、交点がある場合は、その座標を求めよ。$${\small (3)}~y=x^2-6x+9$$

\(x^2-6x+9=0\) とすると、この2次方程式の判別式 \(D\) は、$$\hspace{ 10 pt}D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9$$$$\hspace{ 20 pt}=36-36$$$$\hspace{ 20 pt}=0$$よって、\(D=0\) となるのでこの2次関数は \(x\) 軸と異なる1点で交わります。(\(x\) 軸と接する。)
 
また、その交点の座標は、次の2次方程式を解くことで \(x\) 座標が求まります。$$\hspace{ 10 pt}x^2-6x+9=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-3)^2=0$$よって、\(x-3=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}x-3=0$$移項すると、$$\hspace{ 20 pt}x=3$$よって、交点の座標は$$~~~(3~,~0)$$となります。

 

今回のまとめ

2次関数と \(x\) 軸との交点の座標についての問題は、与えられた2次関数の右辺より2次方程式を作りその2次方程式の解についての問題にしましょう。

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