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【問題一覧】数学A:整数の性質

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このページは「高校数学A:整数の性質」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学A:整数の性質

除法の性質

問題\(a~,~b\) を整数として、\(a\) を \(5\) で割ったときの余りが \(2\) 、\(b\) を \(5\) で割ったときの余りが \(3\) のとき、次の値を \(5\) で割ったときの余りを求めよ。$${\small (1)}~a+b$$$${\small (2)}~2a+b$$$${\small (3)}~a^2+b^2$$

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【解答】$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~2$$$${\small (3)}~3$$

詳しい解説ページはこちらから↓

除法の性質
今回は整式の除法の商と余りの性質について解説していきます。関係式を用いて計算する解法を覚えておきましょう。

 

整数の分類と証明

問題整数 \(n\) が \(3\) で割り切れないとき、\(n^2\) を \(3\) で割ったときの余りが \(1\) となることを示せ。

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証明の解答はこちらから↓

整数の分類と証明
整数をある正の整数で割ったときの余りの値によって分類する方法と問題への応用について解説していきます。割る正の整数 \(m\) の値によって場合分けの数も変わる点に注意しましょう。

 

約数と倍数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(10\) の正の約数をすべて答えよ。
\({\small (2)}\) \(12\) の約数をすべて答えよ。
\({\small (3)}\) \(5\) の倍数を書き並べよ。
\({\small (4)}\) \(3\) の正の倍数を小さい方から5つ答えよ。

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【解答】$${\small (1)}~1~,~2~,~5~,~10$$$${\small (2)}~\pm1~,~\pm2~,~\pm3~,~\pm4~,~\pm6~,~\pm12$$$${\small (3)}~0~,~\pm5~,~\pm10~,~\pm15~,~\cdots$$$${\small (4)}~3~,~6~,~9~,~12~,~15$$

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約数と倍数
約数と倍数について解説していきます。高校数学でも約数と倍数は度々出てきますので、ここでしっかりと覚えておきましょう。

 

倍数判別法

問題次の数は \(2~,~3~,~4~,~5~,~9\) のどの倍数となるか答えよ。$${\small (1)}~13260$$$${\small (2)}~57024$$

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【解答】
\({\small (1)}\) \(2~,~3~,~4~,~5\) の倍数となります。
\({\small (2)}\) \(2~,~3~,~4~,~9\) の倍数となります。

詳しい解説ページはこちらから↓

倍数判別法
今回は倍数判別法について解説していきます。それぞれの倍数判別法と与えられた数値の調べ方を覚えておきましょう。

 

素因数分解

問題次の数を素因数分解せよ。$${\small (1)}~24$$$${\small (2)}~189$$$${\small (3)}~540$$

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【解答】$${\small (1)}~2^3\cdot3$$$${\small (2)}~3^3\cdot7$$$${\small (3)}~2^2\cdot3^3\cdot5$$

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素因数分解
今回は素因数分解について解説していきます。様々な単元で用いる計算ですので、しっかりと覚えておきましょう。

 

約数の個数・平方数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(360\) の正の約数の個数を求めよ。
\({\small (2)}\) \(\sqrt{120n}\) が自然数となるような最小の自然数 \(n\) の値を求めよ。

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【解答】
\({\small (1)}\) \(24\) 個$${\small (2)}~n=30$$

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約数の個数・平方数
素因数分解の応用問題の約数の個数と平方数を用いた問題を見ていきましょう。それぞれ解法のパターンを覚えておきましょう。

 

等式を満たす整数の組

問題次の等式を満たす整数の組 \((m~,~n)\) をすべて求めよ。$${\small (1)}~(m+1)(n-1)=3$$$${\small (2)}~mn-2m+3n-10=0$$

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【解答】$${\small (1)}~(m~,~n)=(0~,~4)~,~(2~,~2)~,~$$$$\hspace{ 55 pt}(-2~,~-2)~,~(-4~,~0)$$$${\small (2)}~(m~,~n)=(-2~,~6)~,~(-1~,~4)~,~$$$$\hspace{ 55 pt}(1~,~3)~,~(-4~,~-2)~,~$$$$\hspace{ 55 pt}(-5~,~0)~,~(-7~,~1)$$

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等式を満たす整数の組
今回は等式を満たす整数の組について解説していきます。整数である条件を用いると、解が定まります。手順を覚えておきましょう。

 

最大公約数と最小公倍数

問題次の各組の最大公約数と最小公倍数をそれぞれ求めよ。$${\small (1)}~75~,~105$$$${\small (2)}~42~,~78~,~273$$

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【解答】
\({\small (1)}\) 最大公約数は \(15\)、最小公倍数は \(525\)
\({\small (2)}\) 最大公約数は \(3\)、最小公倍数は \(546\)

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最大公約数と最小公倍数
最大公約数と最小公倍数について解説していきます。数の大きいものや3つの数に対する最大公約数と最小公倍数の求め方をおさえておきましょう。

 

最大公約数と最小公倍数の関係式

問題2つの自然数の最大公約数が \(6\)、最小公倍数が \(420\) であるとき、この2つの自然数の組をすべて答えよ。

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【解答】$$~~~(6~,~420)~,~(12~,~210)$$$$~~~(30~,~84)~,~(42~,~60)$$

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最大公約数と最小公倍数の関係式
2つの数とその最大公約数と最小公倍数の関係について解説していきます。関係式とその扱い方を覚えておきましょう。

 

ユークリッドの互除法

問題次の2数の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。$${\small (1)}~407~,~77$$$${\small (2)}~336~,~180$$

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【解答】
最大公約数 \(11\)、最大公約数 \(12\)

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ユークリッドの互除法
今回はユークリッドの互除法について解説していきます。数の大きな2数について最大公約数を求めるのに利用できます。解法をしっかりと覚えておきましょう。

 

不定方程式①

問題次の方程式の整数解をすべて求めよ。$${\small (1)}~5x+2y=0$$$${\small (2)}~5x+2y=1$$$${\small (3)}~5x+2y=2$$

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【解答】$${\small (1)}~x=2m~,~y=-5m$$ ただし、\(m\) は整数$${\small (2)}~x=2m+1~,~y=-5m-2$$ ただし、\(m\) は整数$${\small (3)}~x=2m+2~,~y=-5m-4$$ ただし、\(m\) は整数

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不定方程式①
与えられた2元1次方程式の整数解を求める不定方程式の解について解説していきます。今回は基本的なパターンを見ていきましょう。

 

不定方程式②(互除法)

問題次の方程式の整数解を1つ求めよ。$${\small (1)}~44x+35y=1$$$${\small (2)}~44x+35y=3$$

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【解答】$${\small (1)}~x=4~,~y=-5$$$${\small (2)}~x=12~,~y=-15$$

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不定方程式②(互除法)
不定方程式において、係数が大きな数で、整数解の1つの組を見つけるのが困難な場合はユークリッドの互除法を用いて整数解を見つけましょう。

 

不定方程式の利用

問題\(7\) で割ると \(3\) 余り、\(11\) で割ると \(6\) 余るような自然数のうち3桁で最小の数を求めよ。

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【解答】$$~~~171$$

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不定方程式の利用
不定方程式を利用して自然数を求める問題について解説していきます。不定方程式の立式と桁数の条件をしっかりとおさえておきましょう。

 

n進法①(10進法で表す)

問題次の数を10進法で表せ。$${\small (1)}~11010_{(2)}$$$${\small (2)}~2121_{(3)}$$$${\small (3)}~423_{(5)}$$

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【解答】$${\small (1)}~26$$$${\small (2)}~70$$$${\small (3)}~113$$

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n進法①(10進法で表す)
今回からn進法について解説していきます。n進法で表された数を10進法にする計算方法を覚えておきましょう。

 

n進法②(n進法で表す)

問題次の10進法で表された数を[ ]進法で表せ。$${\small (1)}~35~~[~2~]$$$${\small (2)}~289~~[~3~]$$$${\small (3)}~439~~[~5~]$$

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【解答】$${\small (1)}~100011_{(2)}$$$${\small (2)}~101201_{(3)}$$$${\small (3)}~3224_{(5)}$$

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n進法②(n進法で表す)
前回に続いて、n進法について解説していきます。今回は10進法で表された数をn進法で表す方法を見ていきましょう。

 

n進法と小数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の数を10進法の小数で表せ。$${\large ①}~0.101_{(2)}~~~~~{\large ②}~0.231_{(5)}$$\({\small (2)}\) 次の10進法で表された数を[ ]進法で表せ。$${\large ①}~0.625~~[~2~]~~~~~{\large ②}~0.728~~[~5~]$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~0.625~~~{\large ②}~0.528$$$${\small (2)}~{\large ①}~0.101_{(2)}~~~{\large ②}~0.331_{(5)}$$

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n進法と小数
今回はn進法と小数について解説していきます。n進法から10進法へとその逆についての変換方法を覚えておきましょう。

 

n進法のたし算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~1011_{(2)}+110_{(2)}$$$${\small (2)}~413_{(5)}+224_{(5)}$$

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【解答】$${\small (1)}~10001_{(2)}$$$${\small (2)}~1142_{(5)}$$

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n進法のたし算
今回はn進法で表された数のたし算について解説していきます。たし算では繰り上がるときの数に注意しましょう。

 

n進法のひき算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~11011_{(2)}-1101_{(2)}$$$${\small (2)}~431_{(5)}-34_{(5)}$$

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【解答】$${\small (1)}~1110_{(2)}$$$${\small (2)}~342_{(5)}$$

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n進法のひき算
前回のたし算に続いて、今回はn進法のひき算について解説していきます。繰り下がりの数に注意しましょう。

 

n進法のかけ算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~101_{(2)}\times111_{(2)}$$$${\small (2)}~413_{(5)}\times24_{(5)}$$

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【解答】$${\small (1)}~100011_{(2)}$$$${\small (2)}~22022_{(5)}$$

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n進法のかけ算
今回はn進法のかけ算について解説していきます。かけ算の場合でも繰り上がりの数が n になる点に注意しましょう。

 

分数と小数

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の分数を小数で表せ。$$~{\large ①}~~\frac{3}{11}~~~~~~{\large ②}~~\frac{3}{4}$$\({\small (2)}\) 次の分数を有限小数と循環小数に分類せよ。$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{7}{8}~,~\frac{8}{15}~,~\frac{9}{20}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~0.\dot{2}\dot{7}~~~{\large ②}~0.75$$
\({\small (2)}\) 有限小数は$$~~~\frac{7}{8}~,~\frac{9}{20}$$循環小数は$$~~~\frac{5}{12}~,~\frac{8}{15}$$

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分数と小数
今回は分数と小数について解説していきます。循環小数の表し方と分数の分類方法をしっかりとおさえておきましょう。