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【問題一覧】数学Ⅱ:式と証明

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このページは「高校数学Ⅱ:式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅱ:式と証明

3次式の展開(数学Ⅰ)

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-1)^3$$$${\small (2)}~(x+2y)^3$$$${\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$${\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$

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【解答】$${\small (1)}~27x^3-27x^2+9x-1$$$${\small (2)}~x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$$${\small (3)}~27x^3+8$$$${\small (4)}~8x^3-y^3$$

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3次式の展開
今回は3次式の展開と乗法公式について解説していきます。次数が上がると式が複雑になるので、乗法公式はしっかりと覚えておきましょう。

 

3次式の因数分解(数学Ⅰ)

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~8x^3+1$$$${\small (2)}~x^3-27y^3$$$${\small (3)}~3x^3-24$$

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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(4x^2-2x+1)$$$${\small (2)}~(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$$$${\small (3)}~3(x-2)(x^2+2x+4)$$

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3次式の因数分解
3次式の因数分解についは、公式を1つ覚えておきましょう。しかし、基本はあくまで「共通因数でくくる!」です。公式を使う前に共通因数を探すようにしましょう。

 

6次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^6-64y^6$$$${\small (1)}~x^6+26x^3-27$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+2y)(x-2y)$$$$~~~~~~~~~~~~(x^2-2xy+4y^2)(x^2+2xy+4y^2)$$$${\small (2)}~(x-1)(x+3)(x^2+x+1)(x^2-3x+9)$$

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6次式の因数分解
今回は3次式の因数分解の公式を用いて、次数の高い6次式の因数分解していく方法を見ていきましょう。

 

二項定理

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((a-2b)^5\) を展開せよ。
\({\small (2)}~\)\((3x-2y)^5\) を展開したときの \(x^2y^3\) の係数を求めよ。
\({\small (3)}~\)\((x^2-3y)^6\) を展開したときの \(x^8y^2\) の係数を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~a^5-10a^4b+40a^3b^2$$$$\hspace{60pt }-80a^2b^3+80ab^4-32b^5$$$${\small (2)}~-720~~~~~~{\small (3)}~135$$

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二項定理
今回は二項定理を解説していきます。係数を計算するときに、組合せの記号Cを用いる理由も理解して出来るようになりましょう。

 

多項定理

問題\((x+2y-3z)^5\) を展開したときの次の係数を求めよ。$${\small (1)}~x^2yz^2$$$${\small (2)}~xyz^3$$

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【解答】$${\small (1)}~540~~~~~~{\small (2)}~-1080$$

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多項定理
前回の二項定理の応用である3つの項の展開式を考える多項定理を解説していきます。二項定理の考え方をそのまま使います。

 

二項定理の利用

問題\((1+x)^n\) の展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明せよ。$${\small (1)}~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$$${\small (2)}~{}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots$$$$\hspace{70pt }+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$

[ 解答を見る ]

【解答】\({\small (1)}~\)[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1+1)^n=2^n$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot 1+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot 1^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot 1^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}=2^n$$[終]

\({\small (2)}~\)[証明] 次の等式$$~~~(1+x)^n={}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}x$$$$\hspace{70pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}x^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}x^n$$において、\(x=-1\) とすると、
左辺は、$$~~~(1-1)^n=0$$右辺は、$$~~~~~~{}_{n}{\rm C}_{0}+{}_{n}{\rm C}_{1}\cdot (-1)$$$$\hspace{45pt}+{}_{n}{\rm C}_{2}\cdot (-1)^2+\cdots+{}_{n}{\rm C}_{n}\cdot (-1)^n$$$$~={}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}$$したがって、$${}_{n}{\rm C}_{0}-{}_{n}{\rm C}_{1}+{}_{n}{\rm C}_{2}-\cdots+(-1)^n\cdot{}_{n}{\rm C}_{n}=0$$[終]

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二項定理の利用
二項定理の展開式を用いた等式の証明を見ていきましょう。パターンとして解ける問題ですので、(1+x)のn乗の展開式を覚えておきましょう。

 

整式の割り算

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x^3-8x-8\) を \(x^2-3x+1\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (2)}~\)\(x^3-6x^2y+10xy^2-8y^3\) を \(x^2-5xy+y^2\) で割ったときの商と余りを求めよ。
\({\small (3)}~\)\(2x^3-7x^2+7x-4\) をある整式で割ったときの商が \(2x-1\)、余りが \(-2\) のとき、この整式を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)商は \(x+3\)、余りは \(-11\)
\({\small (2)}~\)商は \(x-y\)、余りは \(4xy^2-7y^3\)
\({\small (3)}~\)\(B(x)=x^2-3x+2\)

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整式の割り算
今回は整式を整式で割る計算について解説していきます。整式の割り算の筆算の方法と、割り算について成り立つ等式の使い方を覚えましょう。

 

分数式の計算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\frac{36x^2y}{9xy^3}$$$${\small (2)}~\frac{2y^3}{3x^2}\div \frac{4y^2}{6x}$$$${\small (3)}~\frac{x^2-6x-7}{x^2-1}$$$${\small (4)}~\frac{x^2-5x+6}{x^2-2x-3}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~\frac{4x}{y^2}~~~~~~{\small (2)}~\frac{y}{x}$$$${\small (3)}~\frac{x-7}{x-1}
$$$${\small (4)}~\frac{x-2}{x+1}$$

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分数式の計算
分母が整式となっている式を分数式といいます。数の分数のときと同じように約分をし既約分数式で表すようにしましょう。

 

通分を用いる分数式の計算

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$$$$~~{\small (2)}~\frac{1}{x(x+1)}+ \frac{1}{(x+1)(x+2)}$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{5}{(x-2)(x+3)}~~~~~~{\small (2)}~\frac{2}{x(x+2)}$$

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通分を用いる分数式の計算
分数式のなかで通分が必要な問題を解説していきます。計算が複雑になるので、計算ミスをしないように丁寧に計算していきましょう。

 

分母や分子に分数式を含む式

問題次の計算をせよ。$$~~{\small (1)}~\frac{1+{\Large \frac{1}{x}}}{x-{\Large \frac{1}{x}}}$$$$~~{\small (2)}~\frac{1+{\Large \frac{y}{x-y}}}{1-{\Large \frac{x}{x-y}}}$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{1}{x-1}~~~~~~{\small (2)}~-\frac{x}{y}$$

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分母や分子に分数式を含む式
今回は分数式の分母分子に分数式がある繁分数式を解説していきます。解法は2つあり「通分を用いる」と「分母分子に値をかける」で両方重要なのでどちらもできるようになりましょう。

 

恒等式

問題次の等式が \(x\) についての恒等式となるように、\(a~,~b~,~c\) の値を求めよ。$${\small (1)}~x^2+ax-5=(x-1)(x+b)$$$${\small (2)}~x^3=(x-1)^3+a(x+1)^2+bx+c$$$${\small (3)}~\frac{a}{x^2-1}=\frac{b}{x+1}-\frac{3}{x-1}$$

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【解答】$${\small (1)}~a=4~,~b=5$$$${\small (2)}~a=3~,~b=-9~,~c=-2$$$${\small (3)}~a=-6~,~b=3$$

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恒等式
今回は恒等式の解説をしていきます。方程式との違いを理解し、恒等式のときだけ使える解法を覚えておきましょう。

 

等式の証明

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~ (x+y)(x^2+y^2)$$$$~~~~~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$${\small (2)}~ a^5-b^5$$$$~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$

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【解答】\({\small (1)}~\)[証明]
  (左辺)
$$~=(x+y)(x^2+y^2)$$$$~=x^3+xy^2+yx^2+y^3$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
  (右辺)
$$~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$$~=x^3+y^3+x^2y+xy^2$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
したがって、(左辺)=(右辺)となることより、$$~~~(x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
  (右辺)
$$~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$$$~=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4$$$$~~~~~~~~-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5$$$$~=a^5-b^5$$
したがって、(左辺)=(右辺)となることより、$$~~~a^5-b^5$$$$~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$[終]

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等式の証明
等式を証明するとき、様々な解法があります。問題に合った解法を選択できるようになりましょう。

 

条件付き等式の証明

問題\(a+b+c=0\) のとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~a^2+ac=b^2+bc$$$${\small (2)}~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
条件 \(a+b+c=0\) より、$$~~~c=-a-b$$となります。

  (左辺)$$~=a^2+ac$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+a(-a-b)$$$$~=a^2-a^2-ab$$$$~=-ab$$

  (右辺)$$~=b^2+bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=b^2+b(-a-b)$$$$~=b^2-ab-b^2$$$$~=-ab$$

よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~a^2+ac=b^2+bc$$[終]

\({\small (2)}~\)[証明]  (左辺)$$~=a^2+2b^2-c^2$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+2b^2-(-a-b)^2$$ここで、$$~~~~~~(-a-b)^2$$$$~=\{(-a)^2+2(-a)(-b)+(-b)^1$$$$~=a^2+ab+b^2$$これより、$$~=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)$$$$~=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2$$$$~=b^2-2ab$$
  (右辺)$$~=-3ab-bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=-3ab-b(-a-b)$$$$~=-3ab+ab+b^2$$$$~=b^2-2ab$$
したがって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$[終]

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条件付き等式の証明
条件式のある等式の証明はその条件をどう用いるかが重要となります。基本的な解法は前回と同じになります。

 

比例式と等式の証明

問題\({\Large \frac{a}{b}}={\Large \frac{c}{d}}\) とするとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$$${\small (2)}~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、

  (左辺)$$~=\frac{a+c}{b+d}$$ここに、\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb+kd}{b+d}$$$$~=\frac{k(b+d)}{b+d}$$$$~=k$$

  (右辺)$$~=\frac{c}{d}$$ここに、\(c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kd}{d}$$$$~=k$$

よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$[終]

\({\small (2)}~\)[証明]$$~~~\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$$とすると、$$~~~\frac{a}{b}=k~,~\frac{c}{d}=k$$$$~\Leftrightarrow~a=kb~,~c=kd$$したがって、

  (左辺)$$~=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{(kb)^2+(kd)^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2b^2+k^2d^2}{b^2+d^2}$$$$~=\frac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}$$$$~=k^2$$

  (右辺)$$~=\frac{ac}{bd}$$\(a=kb~,~c=kd\) を代入すると、$$~=\frac{kb\cdot kd}{bd}$$$$~=\frac{k^2bd}{bd}$$$$~=k^2$$

よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$$[終]

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比例式と等式証明
条件が比例式となっている等式の証明を解説していきます。比例式の使い方を覚えて証明できるようになりましょう。

 

不等式の証明①(条件付き)

問題次の不等式を証明せよ。
\({\small (1)}~a>1~,~b>2\) のとき、$$~~~~~~ab+2>2a+b$$ \({\small (2)}~a>b~,~c>d\) のとき、$$~~~~~~ac+bd>ad+bc$$

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ab+2)-(2a+b)$$$$~=ab+2-2a-b$$\(a\) について整理すると、$$~=(b-2)a-b+2$$$$~=(b-2)a-(b-2)$$$$~=(b-2)(a-1)$$$$~=(a-1)(b-2)$$ここで、問題文より \(a>1~,~b>2\) であることより、
 \(a>1\) すなわち \(a-1>0\)
 \(b>2\) すなわち \(b-2>0\)
したがって、\((a-1)(b-2)>0\) となります
よって、\((ab+2)-(2a+b)>0\) となるので$$~~~ab+2>2a+b$$[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(ac+bd)-(ad+bc)$$$$~=ac+bd-ad-bc$$\(a\) について整理すると、$$~=ac-ad-bc+bd$$$$~=(c-d)a-b(c-d)$$$$~=(c-d)(a-b)$$$$~=(a-b)(c-d)$$ここで、問題文より \(a>b~,~c>d\) であることより、
 \(a>b\) すなわち \(a-b>0\)
 \(c>d\) すなわち \(c-d>0\)
したがって、\((a-b)(c-d)>0\) となります
よって、\((ac+bd)-(ad+bc)\) となるので$$~~~ac+bd>ad+bc$$[終]

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不等式の証明①(条件付き)
等式の証明に続き今回からは不等式の証明を解説していきます。今回のパターンは不等式の証明の基本的な解法となりますので、しっかりと覚えましょう。

 

不等式の証明②(2次式)

問題次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (1)}~x^2+y^2≧2xy$$$${\small (2)}~x^2+3xy+3y^2≧0$$$${\small (3)}~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$

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【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~~~~~~(x^2+y^2)-2xy$$$$~=x^2-2xy+y^2$$因数分解すると、$$~=(x-y)^2$$\({\rm A}^2≧0\) となることより、$$~=(x-y)^2≧0~\cdots①$$よって、$$~~~(x^2+y^2)-2xy≧0$$ゆえに、$$~~~x^2+y^2≧2xy$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より$$~~~x-y=0$$すなわち \(x=y\) のときである
[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
  (左辺)$$~=x^2+3xy+3y^2$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2+3yx+3y^2$$$$~=x^2+3yx+\left(\frac{3y}{2}\right)^2-\left(\frac{3y}{2}\right)^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+3y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2-\frac{9}{4}y^2+\frac{12}{4}y^2$$$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2≧0~\cdots①$$よって、$$~~~x^2+3xy+3y^2≧0$$が成り立つ
また、等号が成立するのは、①の式より$$~~~x+\frac{3}{2}y=0$$  かつ$$~~~y=0$$\(y=0\) を \(x+{\Large\frac{3}{2}}y=0\) に代入すると、$$~~~x=0$$よって、\(x=y=0\) のときである[終]

\({\small (3)}~\)[証明]
(左辺)−(右辺)より、$$~=(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)$$$$~=x^2-6xy+10y^2-4y+4$$\(x\) について整理し、平方完成すると、$$~=x^2-6yx+10y^2-4y+4$$$$~=x^2-6yx+(-3y)^2-(-3y)^2$$$$\hspace{78pt}+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2-9y^2+10y^2-4y+4$$$$~=(x-3y)^2+y^2-4y+4$$後半部分を \(y\) について因数分解すると、$$~=(x-3y)^2+(y-2)^2$$ここで、\({\rm A}^2+{\rm B}^2≧0\) となるとこより、$$~=(x-3y)^2+(y-2)2≧0~\cdots ①$$よって、$$~~~(x^2-6xy+10y^2)-(4y-4)≧0$$ゆえに、$$~~~x^2-6xy+10y^2≧4y-4$$が成り立つ
また、等号が成立するのは①の式より、$$~~~x-3y=0$$  かつ$$~~~y-2=0$$\(y-2=0\) より、$$~~~y=2$$\(x-3y=0\) に代入して、$$~~~x=6$$よって、\(x=6~,~y=2\) のときである[終]

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不等式の証明②(2次式)
不等式の証明で2次式の性質を利用した問題を見ていきましょう。解法の基本は(左辺)−(右辺)となります。

 

不等式の証明③(平方根)

問題\(a≧0~,~b≧0\) のとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$

[ 解答を見る ]

【解答】
[証明]
\(5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧0~,~\sqrt{25a+9b}≧0\) より、
平方の差 (左辺)2-(右辺)2 を考えると、$$~~~~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2$$$$~=(5\sqrt{a})^2+2\cdot 5\sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b}$$$$\hspace{50pt}+(3\sqrt{b})^2-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{a}\sqrt{b}+9b-(25a+9b)$$$$~=25a+30\sqrt{ab}+9b-25a-9b$$$$~=30\sqrt{ab}$$ここで、平方根の性質 \(\sqrt{{\rm A}}≧0\) より$$~=30\sqrt{ab}≧0$$よって、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{25a+9b})^2≧0$$ゆえに、$$~~~(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2≧(\sqrt{25a+9b})^2$$が成り立つ
ここで、\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、$$~~~{\rm A}^2≧{\rm B}^2~\Leftrightarrow~{\rm A}≧{\rm B}$$したがって、$$~~~5\sqrt{a}+3\sqrt{b}≧\sqrt{25a+9b}$$[終]

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不等式の証明③(平方根)
平方根を含む不等式の証明を見ていきましょう。平方根の計算はそのままではできないので、(左辺)²-(右辺)²を考えることを覚えておきましょう。

 

不等式の証明④(絶対値)

問題次の不等式を証明せよ。$$~~~|a+b|≦|a|+|b|$$

[ 解答を見る ]

【解答】
[証明]
\(|a|+|b|≧0~,~|a+b|≧0\) より、平方の差を考えると、$$~~~~~~(|a|+|b|)^2-|a+b|^2$$右の部分の展開は絶対値の性質 \(|a+b|^2=(a+b)^2\) より、$$~=|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a^2+2ab+b^2)$$また、\(|a|^2=a^2~,~|b|^2=b^2~,~|a||b|=|ab|\) より、$$~=a^2+2|ab|+b^2-a^2-2ab-b^2$$$$~=2|ab|-2ab$$$$~=2(|ab|-ab)$$ここで、\(|{\rm A}|-{\rm A}≧0\) より$$~=2(|ab|-ab)≧0$$よって、$$~~~(|a|+|b|)^2-|a+b|^2≧0$$ゆえに、$$~~~(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2$$が成り立つ
ここで、\({\rm A}≧0~,~{\rm B}≧0\) のとき、\({\rm A}^2≧{\rm B}^2~\Leftrightarrow~{\rm A}≧{\rm B}\) より$$~~~~~~|a|+|b|≧|a+b|$$したがって、$$~~~~~~|a+b|≦|a|+|b|$$[終]

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不等式の証明④(絶対値)
絶対値を含む不等式の証明を見ていきましょう。基本的な解法は平方根を含む不等式の証明と同じで平方の差 (左辺)²-(右辺)²を考えることになります。

 

相加平均と相乗平均

問題\(a>0~,~b>0\) のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成立するときの条件も答えよ。$${\small (1)}~a+\frac{4}{a}≧4$$$${\small (2)}~\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right)≧9$$

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)[証明]
\(a>0\) のとき、\({\Large \frac{4}{a}}\) となる
相加平均と相乗平均の関係より、$$~~~a+\frac{4}{a}≧2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=2\sqrt{4}=4$$
よって、$$~~~a+\frac{4}{a}≧4$$が成り立つ
また、等号が成立するのは \(a={\Large \frac{4}{a}} \) のとき、$$~~~a=\frac{4}{a}$$$$~~~a^2=4$$\(a>0\) より、$$~~~a=2$$よって、\(a=2\) のときである[終]

\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)$$~=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{4}{a}\right)$$展開すると、$$~=ab+a\cdot\frac{4}{a}+\frac{1}{b}\cdot b+\frac{1}{b}\cdot\frac{4}{a}$$$$~=ab+4+1+\frac{4}{ab}$$$$~=ab+\frac{4}{ab}+5$$
\(a>0~,~b>0\) より、\(ab>0~,~{\Large \frac{4}{ab}}>0\) となる
\(ab\) と \({\Large \frac{4}{ab}}\) について、相加平均と相乗平均の関係を用いると、$$~~~ab+\frac{4}{ab}≧2\sqrt{4\cdot\frac{4}{ab}}=2\sqrt{4}=4$$よって、$$~~~ab+\frac{4}{ab}≧4~\cdots①$$ここで、\(5 \) を両辺に加えると、$$~~~ab+\frac{4}{ab}+5≧4+5$$
ゆえに、\(\left(a+{\Large \frac{1}{b}}\right)\left(b+{\Large \frac{4}{a}}\right)≧9\) が成り立つ
また、等号が成立するのは①より、\(ab={\Large \frac{4}{ab}}\) のとき、$$~~~ab=\frac{4}{ab}$$$$~~~(ab)^2=4$$\(ab>0\) より、$$~~~ab=2$$よって、\(ab=2\) のときである[終]

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相加平均と相乗平均の関係
相加平均と相乗平均の関係を用いた不等式の証明を見ていきましょう。関係式を上手く用いて証明していくのことがポイントとなります。