オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはTwitterにて!

条件付き等式の証明

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「条件付き等式の証明」です。

問題\(a+b+c=0\) のとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~a^2+ac=b^2+bc$$$${\small (2)}~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

条件付き等式の証明

Point:条件付き等式の証明条件付きの等式の証明は、
① 条件式を式変形します。
② 左辺と右辺のそれぞれの式に文字式を代入して文字を1つ消去します。
(左辺)=(右辺)となることを示します。

 

問題解説:条件付き等式の証明

問題解説(1)

問題\(a+b+c=0\) のとき、次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~a^2+ac=b^2+bc$$

[証明]
条件 \(a+b+c=0\) より、$$~~~c=-a-b$$となります。
 
  (左辺)$$~=a^2+ac$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+a(-a-b)$$$$~=a^2-a^2-ab$$$$~=-ab$$
  (右辺)$$~=b^2+bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=b^2+b(-a-b)$$$$~=b^2-ab-b^2$$$$~=-ab$$
よって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~a^2+ac=b^2+bc$$[終]

 

問題解説(2)

問題\(a+b+c=0\) のとき、次の等式を証明せよ。$${\small (2)}~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$

  (左辺)$$~=a^2+2b^2-c^2$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=a^2+2b^2-(-a-b)^2$$ここで、$$~~~~~~(-a-b)^2$$$$~=\{(-a)^2+2(-a)(-b)+(-b)^1$$$$~=a^2+ab+b^2$$これより、$$~=a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)$$$$~=a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2$$$$~=b^2-2ab$$
  (右辺)$$~=-3ab-bc$$\(c=-a-b\) を代入すると、$$~=-3ab-b(-a-b)$$$$~=-3ab+ab+b^2$$$$~=b^2-2ab$$
したがって、(左辺)=(右辺)となるので、$$~~~a^2+2b^2-c^2=-3ab-bc$$[終]

 

今回のまとめ

条件付き等式の証明は、その条件を用いて文字数を減らす計算をしていきましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:式と証明
このページは「高校数学Ⅱ:式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...