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等式の証明

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今回の問題は「等式の証明」です。

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~ (x+y)(x^2+y^2)$$$$~~~~~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$${\small (2)}~ a^5-b^5$$$$~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$

 

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等式の証明のやり方

Point:等式の証明等式 \({\rm A}={\rm B}\) の証明の解法
・解法パターン1
\( {\rm A}\) を計算していき \({\rm B}\) にする方法

$${\rm A}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm B}$$

よって、\({\rm A}={\rm B}\) となります。
 
逆に、\({\rm B}\) を計算していき \({\rm A}\) にしても証明できます。

$${\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm A}$$

よって、\({\rm A}={\rm B}\) となります。
 
・解法パターン2
\({\rm A}\) と \({\rm B}\) をそれぞれ計算していき、同じ式 \({\rm C}\) にする方法

$${\rm A}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm C}$$$$~~~{\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot={\rm C}$$

よって、\({\rm A}={\rm C}\) と \({\rm B}={\rm C}\) が成り立つことより、\({\rm A}={\rm B}\) となります。
 
・解法パターン3
\({\rm A}-{\rm B}\) を計算する方法

$${\rm A}-{\rm B}=\cdot~\cdot~\cdot=0$$

よって、\({\rm A}-{\rm B}=0\) が成り立つので、\({\rm A}={\rm B}\) となります。

 

問題解説:等式の証明

問題解説(1)

問題次の等式を証明せよ。$${\small (1)}~ (x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$

[証明]
  (左辺)
$$~=(x+y)(x^2+y^2)$$$$~=x^3+xy^2+yx^2+y^3$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
  (右辺)
$$~=x^3+y^3+xy(x+y)$$$$~=x^3+y^3+x^2y+xy^2$$$$~=x^3+x^2y+xy^2+y^3$$
したがって、(左辺)=(右辺)となることより、$$~~~(x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+xy(x+y)$$[終]

 

問題解説(2)

問題次の等式を証明せよ。$${\small (2)}~ a^5-b^5$$$$~~~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$

[証明]
  (右辺)
$$~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$$$~=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4$$$$~~~~~~~~-a^4b-a^3b^2-a^2b^3-ab^4-b^5$$$$~=a^5-b^5$$
したがって、(左辺)=(右辺)となることより、$$~~~a^5-b^5$$$$~~~~~~=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$$[終]

 

今回のまとめ

等式の証明の基本を見ていきました。次回以降も様々な等式の証明が出てきますのでそれぞれの解法を覚えておきましょう。

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