このページは、数研出版：数学Ｃ[708]
第１章 平面のベクトル
第１章 平面のベクトル
それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
数研出版：数学Ⅲ[708]の解答はこちらから↓
【新課程】数研出版：数学Ⅲ[708]
このページは、数研出版：数学Ⅲそれぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので...
yorikuwa.com
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
数研出版数学Ｃ 第１章 平面のベクトル
数研出版数学Ｃ 第２章 空間のベクトル
数研出版数学Ｃ 第３章 複素数平面
数研出版数学Ｃ 第４章 式と曲線
第１章 平面上のベクトル
第１節 平面上のベクトルとその演算
p.9 問1大きさが等しいベクトル
①と④と⑤と⑦と⑨、③と⑧と⑩
同じ向きのベクトル
①と⑦、②と③と⑩、④と⑨
等しいベクトル
①と⑦、③と⑩、④と⑨
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
①と④と⑤と⑦と⑨、③と⑧と⑩
同じ向きのベクトル
①と⑦、②と③と⑩、④と⑨
等しいベクトル
①と⑦、③と⑩、④と⑨
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
p.11 問3[証明]
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{\rm OB}\) より、
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)
\(=\vec{\rm OB}+\vec{\rm BC}\)
\(=\vec{\rm OC}\)
また、\(\vec{b}+\vec{c}=\vec{\rm AC}\) より、
\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
\(=\vec{\rm OA}+\vec{\rm AC}\)
\(=\vec{\rm OC}\)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)
\(=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの和の表し方
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{\rm OB}\) より、
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)
\(=\vec{\rm OB}+\vec{\rm BC}\)
\(=\vec{\rm OC}\)
また、\(\vec{b}+\vec{c}=\vec{\rm AC}\) より、
\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
\(=\vec{\rm OA}+\vec{\rm AC}\)
\(=\vec{\rm OC}\)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)
\(=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの和の表し方
p.12 練習1\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CD}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CD}\)
\(=\vec{\rm AD}\)
したがって、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}=\vec{\rm AD}\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
(左辺)
\(=\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+\vec{\rm CD}\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CD}\)
\(=\vec{\rm AD}\)
したがって、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}=\vec{\rm AD}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}+\vec{\rm DA}\)
\(=(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC})+(\vec{\rm CD}+\vec{\rm DA})\)
\(=\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}\)
\(=\vec{\rm AA}\)
\(=\vec{0}\)
したがって、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}+\vec{\rm DA}=\vec{0}\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.12 練習2\({\small (1)}~-\vec{a}\)
\({\small (2)}~\vec{b}-\vec{a}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜ベクトルの差の表し方
\({\small (2)}~\vec{b}-\vec{a}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}-\vec{b}\)
解法のPoint｜ベクトルの差の表し方
p.13 練習3\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (5)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (5)}~\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.14 問6[証明] \({\rm AC\,//\, A’C’}\) より、\(\triangle {\rm OAC}\sim \triangle {\rm OA’C’}\)
よって、
\({\rm OC:OC’}=1:k\)
これより、
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{\rm OC}=\vec{\rm OC’}\)
また、
\(k\vec{a}+k\vec{b}=\vec{\rm OA’}+\vec{\rm OB’}=\vec{\rm OC’}\)
したがって、
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
[終]
よって、
\({\rm OC:OC’}=1:k\)
これより、
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{\rm OC}=\vec{\rm OC’}\)
また、
\(k\vec{a}+k\vec{b}=\vec{\rm OA’}+\vec{\rm OB’}=\vec{\rm OC’}\)
したがって、
\(k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\)
[終]
p.14 練習5\({\small (1)}~\vec{x}=\vec{a}+2\vec{b}\)
\({\small (2)}~\vec{x}=5\vec{a}+3\vec{b}\)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
\({\small (2)}~\vec{x}=5\vec{a}+3\vec{b}\)
解法のPoint｜等式を満たすベクトルの表し方
p.15 練習6\({\small (1)}~3\vec{e}~,~-3\vec{e}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{a}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{a}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{a}\)
解法のPoint｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
p.16 練習7\(~~~\vec{\rm AD}=2\vec{a}+2\vec{b}\)\(~~~\vec{\rm DF}=-2\vec{a}-\vec{b}\)\(~~~\vec{\rm CE}=\vec{b}-\vec{a}\)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.18 練習8\(~~~\vec{b}=(2~,~2)~,~|\vec{b}|=2\sqrt{2}\)\(~~~\vec{c}=(-4~,~-3)~,~|\vec{c}|=5\)\(~~~\vec{d}=(1~,~-3)~,~|\vec{d}|=\sqrt{10}\)\(~~~\vec{e}=(-3~,~0)~,~|\vec{e}|=3\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.19 練習9\({\small (1)}~(0~,~4)\)
\({\small (2)}~(4~,~-2)\)
\({\small (3)}~(8~,~4)\)
\({\small (4)}~(10~,~-7)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
\({\small (2)}~(4~,~-2)\)
\({\small (3)}~(8~,~4)\)
\({\small (4)}~(10~,~-7)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.19 練習10\({\small (1)}~\vec{p}=3\vec{a}+2\vec{b}\)
\({\small (2)}~\vec{q}=\vec{a}-3\vec{b}\)
解法のPoint｜成分によるベクトルの分解
\({\small (2)}~\vec{q}=\vec{a}-3\vec{b}\)
解法のPoint｜成分によるベクトルの分解
p.21 練習12\({\small (1)}~\vec{\rm OB}=(3~,~5)~,~|\vec{\rm OB}|=\sqrt{34}\)
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(-1~,~5)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{26}\)
\({\small (3)}~\vec{\rm BC}=(-5~,~-10)~,~|\vec{\rm BC}|=5\sqrt{5}\)
\({\small (4)}~\vec{\rm CA}=(6~,~5)~,~|\vec{\rm CA}|=\sqrt{61}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
\({\small (2)}~\vec{\rm AB}=(-1~,~5)~,~|\vec{\rm AB}|=\sqrt{26}\)
\({\small (3)}~\vec{\rm BC}=(-5~,~-10)~,~|\vec{\rm BC}|=5\sqrt{5}\)
\({\small (4)}~\vec{\rm CA}=(6~,~5)~,~|\vec{\rm CA}|=\sqrt{61}\)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
p.22 練習14\({\small (1)}~10\sqrt{3}\) \({\small (2)}~-10\)
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~-20\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~-20\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
p.26 練習18\(~~~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,},\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)\)\(~~~~~,~\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,},-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.27 練習19\({\small (1)}~\)[証明] 内積を計算すると、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2+a_2(-a_1)=0\)
また、\(\vec{a}\neq\vec{0}\) かつ \(\vec{b}\neq\vec{0}\) より、
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,},-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}\right)\)\(~~~~~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,},\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルの垂直と大きさの条件
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1a_2+a_2(-a_1)=0\)
また、\(\vec{a}\neq\vec{0}\) かつ \(\vec{b}\neq\vec{0}\) より、
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直である [終]
\({\small (2)}~\vec{e}=\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,},-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}\right)\)\(~~~~~,~\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,},\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルの垂直と大きさの条件
p.27 問9[証明] 性質１
\(\vec{a}=(a_1,a_2)~,~\vec{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
また、
\(\vec{b}\cdot\vec{a}=b_1a_1+b_2a_2\)
\(=a_1b_1+a_2b_2\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
[終]
[証明] 性質２
\(\vec{a}=(a_1,a_2)~,~\vec{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(k\vec{a}=(ka_1,ka_2)~,~k\vec{b}=(kb_1,kb_2)\)
よって、
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\vec{a}\cdot(k\vec{b})=a_1kb_1+a_2kb_2\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これより、
\(k(\vec{a}\cdot\vec{b})=k(a_1b_1+a_2b_2)\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
したがって、
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)
[終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
\(\vec{a}=(a_1,a_2)~,~\vec{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
また、
\(\vec{b}\cdot\vec{a}=b_1a_1+b_2a_2\)
\(=a_1b_1+a_2b_2\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
[終]
[証明] 性質２
\(\vec{a}=(a_1,a_2)~,~\vec{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(k\vec{a}=(ka_1,ka_2)~,~k\vec{b}=(kb_1,kb_2)\)
よって、
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\vec{a}\cdot(k\vec{b})=a_1kb_1+a_2kb_2\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これより、
\(k(\vec{a}\cdot\vec{b})=k(a_1b_1+a_2b_2)\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
したがって、
\((k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)
[終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
p.27 問10[証明] 性質１
\(\vec{a}\) と \(\vec{a}\) のなす角が \(0^\circ\) であるので、内積を計算すると、
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|\cos{0^\circ}=|\vec{a}|^2\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) [終]
[証明] 性質２
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) より、\(|\vec{a}|≧0\) であるので、
\(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\) [終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
\(\vec{a}\) と \(\vec{a}\) のなす角が \(0^\circ\) であるので、内積を計算すると、
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|\cos{0^\circ}=|\vec{a}|^2\)
したがって、
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) [終]
[証明] 性質２
\(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\) より、\(|\vec{a}|≧0\) であるので、
\(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\) [終]
解法のPoint｜内積の性質と大きさの2乗
p.27 練習20\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(+3\vec{b}(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot\vec{c}-4\vec{a}\cdot\vec{d}\)
\(+3\vec{b}\cdot\vec{c}-6\vec{b}\cdot\vec{d}\)
したがって、
\((2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot\vec{c}-4\vec{a}\cdot\vec{d}\)
\(+3\vec{b}\cdot\vec{c}-6\vec{b}\cdot\vec{d}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|2\vec{a}-3\vec{b}|^2\)
\(=(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(-3\vec{b}(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(=4\vec{a}\cdot\vec{a}-6\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(-6\vec{b}\cdot\vec{a}+9\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=4|\vec{a}|^2-12\vec{a}\cdot\vec{b}+9|\vec{b}|^2\)
したがって、
\(|2\vec{a}-3\vec{b}|^2\)
\(=4|\vec{a}|^2-12\vec{a}\cdot\vec{b}+9|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
(左辺)
\(=(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(+3\vec{b}(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot\vec{c}-4\vec{a}\cdot\vec{d}\)
\(+3\vec{b}\cdot\vec{c}-6\vec{b}\cdot\vec{d}\)
したがって、
\((2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(\vec{c}-2\vec{d})\)
\(=2\vec{a}\cdot\vec{c}-4\vec{a}\cdot\vec{d}\)
\(+3\vec{b}\cdot\vec{c}-6\vec{b}\cdot\vec{d}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|2\vec{a}-3\vec{b}|^2\)
\(=(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(=2\vec{a}\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(-3\vec{b}(2\vec{a}-3\vec{b})\)
\(=4\vec{a}\cdot\vec{a}-6\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(-6\vec{b}\cdot\vec{a}+9\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=4|\vec{a}|^2-12\vec{a}\cdot\vec{b}+9|\vec{b}|^2\)
したがって、
\(|2\vec{a}-3\vec{b}|^2\)
\(=4|\vec{a}|^2-12\vec{a}\cdot\vec{b}+9|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
p.28 練習22\(~~~\vec{a}\cdot\vec{b}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~150^\circ\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
問題
p.30 問題 1 \( \vec{a}=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)~,~\vec{b}=\left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)\)
\( |\,2\vec{a}-3\vec{b}\,|=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( |\,2\vec{a}-3\vec{b}\,|=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 2 \( t=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,} \) で最小値 \( \displaystyle \frac{\,7\sqrt{5}\,}{\,5\,} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 3\({\small (1)}~-2\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~4\)
\({\small (4)}~8\) \({\small (4)}~0\) \({\small (6)}~6\)
解法のPoint｜正六角形における内積
\({\small (4)}~8\) \({\small (4)}~0\) \({\small (6)}~6\)
解法のPoint｜正六角形における内積
p.30 問題 4\({\small (1)}~\)[証明] 左辺をそれぞれ展開すると、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを加えて、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}+|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}+|\,\vec{a}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2|\,\vec{a}\,|^{2}+2|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2(|\,\vec{a}\,|^{2}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\end{split}\)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2)\)
[終]
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを引いて、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}-|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-(|\,\vec{a}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&4\,\vec{a}\cdot\vec{b}
\end{split}\)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2=4\vec{a}\cdot\vec{b}\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを加えて、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}+|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}+|\,\vec{a}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2|\,\vec{a}\,|^{2}+2|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&2(|\,\vec{a}\,|^{2}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\end{split}\)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2)\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] 左辺をそれぞれ展開すると、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
同様に、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})
\\[3pt]~~=~&\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{split}\)
よって、左辺はこれら2つを引いて、
\(\begin{split}&|\,\vec{a}+\vec{b}\,|^{2}-|\,\vec{a}-\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&(|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-(|\,\vec{a}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2})
\\[3pt]~~=~&|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~~&\hspace{10pt}-|\,\vec{a}\,|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[3pt]~~=~&4\,\vec{a}\cdot\vec{b}
\end{split}\)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}-\vec{b}|^2=4\vec{a}\cdot\vec{b}\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 5\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,15\,}{\,7\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 問題 6[証明] 六角形 \({\rm ABCDEF}\) において、
\(\vec{\rm AB}=\vec{\rm ED}\) より、\(\vec{\rm DE}=-\vec{\rm AB}~ ~ ~\cdots~\small [\,1\,]\)
\(\vec{\rm BC}=\vec{\rm FE}\) より、\(\vec{\rm EF}=-\vec{\rm BC}~ ~ ~\cdots~\small [\,2\,]\)
ここで、六角形 \({\rm ABCDEF}\) の各辺のベクトルの和は、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}+\vec{\rm DE}+\vec{\rm EF}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) を代入すると、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}-\vec{\rm AB}-\vec{\rm BC}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\vec{\rm CD}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\vec{\rm CD}=-\vec{\rm FA}=\vec{\rm AF}\)
\(\vec{\rm CD}=\vec{\rm AF}\) より、大きさが等しいので、
\(|\,\vec{\rm CD}\,|=|\,\vec{\rm AF}\,|~ ~ ~\cdots~\small [\,3\,]\)
また、向きが等しいので平行となり、
\(\vec{\rm CD}\,//\,\vec{\rm AF}~ ~ ~\cdots~\small [\,4\,]\)
\(\small [\,3\,]\) と \(\small [\,4\,]\) より、\({\rm CD}\) と \({\rm AF}\) は平行で、\({\rm CD}={\rm AF}\) である [終]
解法のPoint｜ベクトルと平行四辺形の条件
\(\vec{\rm AB}=\vec{\rm ED}\) より、\(\vec{\rm DE}=-\vec{\rm AB}~ ~ ~\cdots~\small [\,1\,]\)
\(\vec{\rm BC}=\vec{\rm FE}\) より、\(\vec{\rm EF}=-\vec{\rm BC}~ ~ ~\cdots~\small [\,2\,]\)
ここで、六角形 \({\rm ABCDEF}\) の各辺のベクトルの和は、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}+\vec{\rm DE}+\vec{\rm EF}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) を代入すると、
\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CD}-\vec{\rm AB}-\vec{\rm BC}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\vec{\rm CD}+\vec{\rm FA}=\vec{0}\)
\(\vec{\rm CD}=-\vec{\rm FA}=\vec{\rm AF}\)
\(\vec{\rm CD}=\vec{\rm AF}\) より、大きさが等しいので、
\(|\,\vec{\rm CD}\,|=|\,\vec{\rm AF}\,|~ ~ ~\cdots~\small [\,3\,]\)
また、向きが等しいので平行となり、
\(\vec{\rm CD}\,//\,\vec{\rm AF}~ ~ ~\cdots~\small [\,4\,]\)
\(\small [\,3\,]\) と \(\small [\,4\,]\) より、\({\rm CD}\) と \({\rm AF}\) は平行で、\({\rm CD}={\rm AF}\) である [終]
解法のPoint｜ベクトルと平行四辺形の条件
p.30 問題 7[証明] 2つのベクトル \( \vec{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right) \) , \( \vec{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right) \) が平行のとき、
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
\( p=-3~,~1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) のなす角を \( \theta \) とすると、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、
\( \cos 0^\circ=1 ~,~ \cos 180^\circ=-1 \) であるので、
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 0^\circ=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos 180^\circ=-|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\)
よって、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2\\[3pt]
|\,\vec{a}\,|&=&\sqrt{{a_1}^{2}+{a_2}^{2}}\\[3pt]
|\,\vec{b}\,|&=&\sqrt{{b_1}^{2}+{b_2}^{2}}
\end{eqnarray}\)
であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a_1\,b_1+a_2\,b_2\right)^{2}&=&\left({a_1}^{2}+{a_2}^{2}\right)\left({b_1}^{2}+{b_2}^{2}\right)\end{eqnarray}\)
両辺をそれぞれ展開して、整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^{2}\,{b_2}^{2}-2a_1\,a_2\,b_1\,b_2+{a_2}^{2}\,{b_1}^{2}&=&0
\\[3pt]~~~\left(a_1\,b_2-a_2\,b_1\right)^{2}&=&0
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-a_2\,b_1&=&0
\end{eqnarray}\)
逆に、\( a_1\,b_2-a_2\,b_1=0 \) のとき、上の式変形を逆にたどると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,)^{2}&=&|\,\vec{a}\,|^{2}|\,\vec{b}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\( |\,\vec{a}\,| \gt 0~,~|\,\vec{b}\,| \gt 0 \) より、\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm \, |\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\) となり、
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|}=\pm\,1\)
よって、\( \theta=0^\circ \) または \( \theta=180^\circ \) となり、\(\vec{a}\,//\,\vec{b}\)
したがって、
\(\vec{a}\,//\,\vec{b}~~ \Longleftrightarrow ~~a_1\,b_2-a_2\,b_1=0\) [終]
\( p=-3~,~1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
第２節 ベクトルと平面図形
p.33 練習23\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{b}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}\)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.34 練習24\({\small (1)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
\({\rm P}(\vec{p})~,~{\rm Q}(\vec{q})~,~{\rm R}(\vec{r})~,~{\rm G^{\prime}}(\vec{g^{\prime}})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle \rm PQR\) の重心 \(\rm G^{\prime}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\rm P,~ Q,~ R\) はそれぞれ \(\rm BC,~ CA,~ AB\) を \(1:2\) に内分する点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{p}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\vec{q}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{c}+\vec{a}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\vec{r}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+\vec{b}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
したがって、
\(\vec{g^{\prime}}=\vec{g}\) より、\(\rm G\) と \(\rm G^{\prime}\) は一致する [終]
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
\({\rm P}(\vec{p})~,~{\rm Q}(\vec{q})~,~{\rm R}(\vec{r})~,~{\rm G^{\prime}}(\vec{g^{\prime}})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle \rm PQR\) の重心 \(\rm G^{\prime}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\rm P,~ Q,~ R\) はそれぞれ \(\rm BC,~ CA,~ AB\) を \(1:2\) に内分する点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{p}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\vec{q}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{c}+\vec{a}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\vec{r}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+\vec{b}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\vec{c}+\vec{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+\vec{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\vec{a}+3\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{g}
\end{eqnarray}\)
+\displaystyle \frac{\,2\vec{c}+\vec{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+\vec{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\vec{a}+3\vec{b}+3\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{g}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{g^{\prime}}=\vec{g}\) より、\(\rm G\) と \(\rm G^{\prime}\) は一致する [終]
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})~,~{\rm G}(\vec{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{g}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}&=&3\vec{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-3\vec{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}&=&3\vec{g}-3\vec{g}
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\vec{\rm GA}+\vec{\rm GB}+\vec{\rm GC}=\vec{0}\) が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.35 練習25[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(4:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,4+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) を \(3:4\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,3+4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{c}+3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(4:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,4+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) を \(3:4\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,3+4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{c}+3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\vec{b}+4\vec{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.36 練習26\(~~~\vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\vec{b}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.37 練習27[証明]
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle {\rm A}=90°\) の直角二等辺三角形より、
\(\vec{b}\cdot\vec{c}=0~,~|\vec{b}|=|\vec{c}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AN}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{\rm AB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{b}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm M}\) は辺 \({\rm CA}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm AC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{c}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm L}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AL}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\vec{\rm AB}+2\cdot\vec{\rm AC}\,}{\,2+1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+2\vec{c}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm MN}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\vec{\rm AN}-\vec{\rm AM}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{b}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{c}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}-\vec{c}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AL}\) と \(\vec{\rm MN}\) の内積は、
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2|\vec{b}|^2+0-2|\vec{b}|^2)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AL}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm MN}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AL}\perp \vec{\rm MN}\)
したがって、\({\rm AL}\perp {\rm MN}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\triangle {\rm ABC}\) は \(\angle {\rm A}=90°\) の直角二等辺三角形より、
\(\vec{b}\cdot\vec{c}=0~,~|\vec{b}|=|\vec{c}|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AN}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{\rm AB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{b}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm M}\) は辺 \({\rm CA}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm AC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{c}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm L}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(2:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AL}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\vec{\rm AB}+2\cdot\vec{\rm AC}\,}{\,2+1\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+2\vec{c}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm MN}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\vec{\rm AN}-\vec{\rm AM}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\vec{b}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{c}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}-\vec{c}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AL}\) と \(\vec{\rm MN}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AL}\cdot\vec{\rm MN}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+2\vec{c}\,}{\,3\,}\cdot\frac{\,2\vec{b}-\vec{c}\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(\vec{b}+2\vec{c})\cdot(2\vec{b}-\vec{c})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{c}+4\vec{b}\cdot\vec{c}-2|\vec{c}|^2)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2|\vec{b}|^2+3\vec{b}\cdot\vec{c}-2|\vec{c}|^2)\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2|\vec{b}|^2+0-2|\vec{b}|^2)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AL}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm MN}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AL}\perp \vec{\rm MN}\)
したがって、\({\rm AL}\perp {\rm MN}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.39 練習28\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=3+4t \\y=2+5t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)\(~,~5x-4y-7=0\)
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=1-2t \\y=-2+3t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)\(~,~3x+2y+1=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
x=3+4t \\y=2+5t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)\(~,~5x-4y-7=0\)
\({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=1-2t \\y=-2+3t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)\(~,~3x+2y+1=0\)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
p.40 問11\({\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=3-5t \\y=-2+4t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=4-4t \\y=5t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜2点を通る直線の媒介変数表示
x=3-5t \\y=-2+4t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \({\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=4-4t \\y=5t
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜2点を通る直線の媒介変数表示
p.41 練習29\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、線分 \({\rm A’B’}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.42 問12\(\vec{\rm OA’}=2\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=2\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.42 練習30\({\small (1)}~\)\(\vec{\rm OA’}=3\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=3\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.45 練習33\({\small (1)}~\)中心 \(2\vec{a}\)、半径 \(1\)
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}\)、半径 \(2\)
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
p.45 練習34[証明]
点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致するとき、\(\vec{\rm AP}=\vec{0}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
また、点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致しないとき、\({\rm AP\perp CA}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
よって、どちらの場合でも、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}&=&0
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|&=&r
\\[3pt]~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|^2&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})
\\[3pt]&&\hspace{20pt}~~~+(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\end{eqnarray}\)
\((\vec{a}-\vec{c})\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{p}-\vec{a}+\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\end{eqnarray}\)
\((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致するとき、\(\vec{\rm AP}=\vec{0}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
また、点 \({\rm A}\) と点 \({\rm P}\) が一致しないとき、\({\rm AP\perp CA}\) より、
\(\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}=0\)
よって、どちらの場合でも、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm CA}&=&0
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(|\,\vec{\rm CA}\,|=r\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|&=&r
\\[3pt]~~~|\,\vec{a}-\vec{c}\,|^2&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、両辺をそれぞれ加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{a}-\vec{c})
\\[3pt]&&\hspace{20pt}~~~+(\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\end{eqnarray}\)
\((\vec{a}-\vec{c})\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{p}-\vec{a}+\vec{a}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\\[3pt]~~~(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})&=&r^2
\end{eqnarray}\)
したがって、この円の接線のベクトル方程式は、
\((\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{c})=r^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.45 深める\({\small (1)}~\)[証明]
円の中心は線分 \({\rm AB}\) の中点となり、位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\)
また、この円の直径が \(|\vec{a}-\vec{b}|\) より、半径は、
\(\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|\,}{\,2\,}\)
したがって、円のベクトル方程式は、
\(\left|\vec{p}-\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\right|=\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|\,}{\,2\,}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(1) の式の両辺を２乗すると、
\(\left|\vec{p}-\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\right|^2=\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|^2\,}{\,2^2\,}\)
両辺に \(\times4\) すると、
\(|2\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})|^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2\)
これを展開し、整理すると、
\(|\vec{p}|^2-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
因数分解すると、
\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
円の中心は線分 \({\rm AB}\) の中点となり、位置ベクトルは、
\(\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\)
また、この円の直径が \(|\vec{a}-\vec{b}|\) より、半径は、
\(\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|\,}{\,2\,}\)
したがって、円のベクトル方程式は、
\(\left|\vec{p}-\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\right|=\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|\,}{\,2\,}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(1) の式の両辺を２乗すると、
\(\left|\vec{p}-\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\right|^2=\displaystyle \frac{\,|\vec{a}-\vec{b}|^2\,}{\,2^2\,}\)
両辺に \(\times4\) すると、
\(|2\vec{p}-(\vec{a}+\vec{b})|^2=|\vec{a}-\vec{b}|^2\)
これを展開し、整理すると、
\(|\vec{p}|^2-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
因数分解すると、
\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0\)
[終]
解法のPoint｜直径が条件の円のベクトル方程式
問題
p.47 問題 8 \( \vec{\rm AE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{\rm AC} \)
\( \vec{\rm BE}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{\rm AC} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( \vec{\rm BE}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\vec{\rm AC} \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 問題 9\({\small (1)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})\)
\({\rm D}(\vec{d})~,~{\rm E}(\vec{e})~,~{\rm F}(\vec{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{b}+m{\, \small \times \,}\vec{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{c}+m{\, \small \times \,}\vec{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{c}+m\vec{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{a}+m{\, \small \times \,}\vec{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\) を \(\vec{a}~,~\vec{b}~,~\vec{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}+n\vec{c}+m\vec{a}+n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\vec{a}+(m+n)\vec{b}+(m+n)\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm AD}+\vec{\rm BE}+\vec{\rm CF}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}-\vec{a})+(\vec{e}-\vec{b})+(\vec{f}-\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm AD}+\vec{\rm BE}+\vec{\rm CF}=\vec{0}\) [終]
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})\)
\({\rm D}(\vec{d})~,~{\rm E}(\vec{e})~,~{\rm F}(\vec{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{b}+m{\, \small \times \,}\vec{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{c}+m{\, \small \times \,}\vec{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{c}+m\vec{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{a}+m{\, \small \times \,}\vec{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\) を \(\vec{a}~,~\vec{b}~,~\vec{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}+n\vec{c}+m\vec{a}+n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\vec{a}+(m+n)\vec{b}+(m+n)\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm AE}+\vec{\rm BF}+\vec{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{e}-\vec{a})+(\vec{f}-\vec{b})+(\vec{d}-\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm AE}+\vec{\rm BF}+\vec{\rm CD}=\vec{0}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})\)
\({\rm D}(\vec{d})~,~{\rm E}(\vec{e})~,~{\rm F}(\vec{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{b}+m{\, \small \times \,}\vec{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{c}+m{\, \small \times \,}\vec{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{c}+m\vec{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{a}+m{\, \small \times \,}\vec{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\) を \(\vec{a}~,~\vec{b}~,~\vec{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}+n\vec{c}+m\vec{a}+n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\vec{a}+(m+n)\vec{b}+(m+n)\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm AD}+\vec{\rm BE}+\vec{\rm CF}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}-\vec{a})+(\vec{e}-\vec{b})+(\vec{f}-\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm AD}+\vec{\rm BE}+\vec{\rm CF}=\vec{0}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\vec{a})~,~{\rm B}(\vec{b})~,~{\rm C}(\vec{c})\)
\({\rm D}(\vec{d})~,~{\rm E}(\vec{e})~,~{\rm F}(\vec{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{b}+m{\, \small \times \,}\vec{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{c}+m{\, \small \times \,}\vec{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{c}+m\vec{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\vec{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\vec{a}+m{\, \small \times \,}\vec{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}\) を \(\vec{a}~,~\vec{b}~,~\vec{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\vec{b}+m\vec{c}+n\vec{c}+m\vec{a}+n\vec{a}+m\vec{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\vec{a}+(m+n)\vec{b}+(m+n)\vec{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\vec{\rm AE}+\vec{\rm BF}+\vec{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&(\vec{e}-\vec{a})+(\vec{f}-\vec{b})+(\vec{d}-\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm AE}+\vec{\rm BF}+\vec{\rm CD}=\vec{0}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 問題 10 \( \vec{\rm OE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\vec{b} \)
\( 6:1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\( 6:1 \)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 問題 11[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
重心 \(\rm G\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\vec{\rm OH}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\vec{\rm OH}
\end{eqnarray}\)
したがって、 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にある [終]
[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}~,~\vec{\rm OH}=\vec{h}\) とおくと、
点 \(\rm O\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm OH}=\vec{\rm OA}+\vec{\rm OB}+\vec{\rm OC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{h}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AH}\) と \(\vec{\rm BC}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}&=&\vec{h}-\vec{a}
\\[3pt]~~~&=&(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BC}=\vec{c}-\vec{b}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AH}\cdot\vec{\rm BC}
&=&(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&(\vec{c}+\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-|\,\vec{b}\,|^{2}
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AH}\perp{\rm BC}\)
同様に、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BH}\perp{\rm CA}~,~{\rm CH}\perp{\rm AB}
\end{eqnarray}\)
以上より、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 問題 12\(\vec{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおいたとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \(\rm AB^{\prime}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.47 問題 13\({\small (1)}~\)\( \displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}+5\,}{\,2\,} \) 時間後
\({\small (2)}~\)時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
\({\small (2)}~\)時速 \( 20\sqrt{2} ~{\rm km}\)
演習問題 平面のベクトル
p.48 演習問題A 1\({\small (1)}~\)\(3\vec{\rm AP}+2\vec{\rm BP}+\vec{\rm CP}=\vec{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~3\vec{\rm AP}+2\vec{\rm BP}+\vec{\rm CP}&=&\vec{0}
\\[5pt]~3\vec{\rm AP}+2(\vec{\rm AP}-\vec{\rm AB})+(\vec{\rm AP}-\vec{\rm AC})&=&\vec{0}
\\[5pt]~3\vec{\rm AP}+2\vec{\rm AP}-2\vec{\rm AB}+\vec{\rm AP}-\vec{\rm AC}&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~6\vec{\rm AP}-2\vec{b}-\vec{c}&=&\vec{0}
\\[5pt]~~~6\vec{\rm AP}&=&2\vec{b}+\vec{c}
\\[5pt]~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
分子の係数の和 \(2+1=3\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、\(\vec{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm AQ}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点である
\({\small (2)}~3:2:1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~3\vec{\rm AP}+2\vec{\rm BP}+\vec{\rm CP}&=&\vec{0}
\\[5pt]~3\vec{\rm AP}+2(\vec{\rm AP}-\vec{\rm AB})+(\vec{\rm AP}-\vec{\rm AC})&=&\vec{0}
\\[5pt]~3\vec{\rm AP}+2\vec{\rm AP}-2\vec{\rm AB}+\vec{\rm AP}-\vec{\rm AC}&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~6\vec{\rm AP}-2\vec{b}-\vec{c}&=&\vec{0}
\\[5pt]~~~6\vec{\rm AP}&=&2\vec{b}+\vec{c}
\\[5pt]~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
分子の係数の和 \(2+1=3\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、\(\vec{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,2\vec{b}+\vec{c}\,}{\,1+2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\vec{\rm AQ}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点である
\({\small (2)}~3:2:1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 演習問題A 2\({\small (1)}~\)\( \vec{\rm OF}=\vec{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\vec{c} \)
\({\small (2)}~\)\( \displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,} \) 倍
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\( \displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,} \) 倍
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 演習問題A 3[証明] \(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
次に、\( \vec{\rm BM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm BC} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2( | \vec{\rm AM} |^2 + | \vec{\rm BM} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 演習問題A 4 \( \vec{\rm OH}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{b} \)
p.48 演習問題B 5\({\small (1)}~\)\( -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} \)
\({\small (2)}~\)\( t_0=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) で最大値 \( \displaystyle \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,2\,} \)
\({\small (3)}~\) \((\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_0\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~~&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_0|\,\vec{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}~,~t_0=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}~,~|\,\vec{b}\,|=3 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 3^2
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}=0\) より、\(\vec{a}+t_0\vec{b}\) と \(\vec{b}\) は垂直である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\( t_0=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,} \) で最大値 \( \displaystyle \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,2\,} \)
\({\small (3)}~\) \((\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_0\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~~&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_0|\,\vec{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}~,~t_0=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}~,~|\,\vec{b}\,|=3 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,6\,}\cdot 3^2
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,9\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\vec{a}+t_0\vec{b})\cdot\vec{b}=0\) より、\(\vec{a}+t_0\vec{b}\) と \(\vec{b}\) は垂直である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.48 演習問題B 6[証明] \(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
点 \({\rm O}\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AB}={\rm AC}\) より、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm E}\) は \(\triangle {\rm ACD}\) の重心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm OA}+\vec{\rm OC}+\vec{\rm OD}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}+\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm CD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm CD}&=&\vec{\rm OD}-\vec{\rm OC}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}-\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(4\,\vec{a}\cdot\vec{b}-4\,\vec{a}\cdot\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm CD}\cdot\vec{\rm OE}=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm O}\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{a}\,|=|\,\vec{b}\,|=|\,\vec{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AB}={\rm AC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\vec{b}-\vec{a}\,|&=&|\,\vec{c}-\vec{a}\,|
\\[3pt]~~~|\,\vec{b}-\vec{a}\,|^{2}&=&|\,\vec{c}-\vec{a}\,|^{2}
\\[3pt]~~~|\,\vec{b}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{a}\,|^{2}&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{c}+|\,\vec{a}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~|\,\vec{b}-\vec{a}\,|^{2}&=&|\,\vec{c}-\vec{a}\,|^{2}
\\[3pt]~~~|\,\vec{b}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{a}\,|^{2}&=&|\,\vec{c}\,|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{c}+|\,\vec{a}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm E}\) は \(\triangle {\rm ACD}\) の重心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm OA}+\vec{\rm OC}+\vec{\rm OD}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}+\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\vec{\rm CD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm CD}&=&\vec{\rm OD}-\vec{\rm OC}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}\,}{\,2\,}-\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm CD}\cdot\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c}\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c})\cdot(3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\vec{a}\,|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}+2\,\vec{a}\cdot\vec{c}+3\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}+2\,\vec{b}\cdot\vec{c}-6\,\vec{a}\cdot\vec{c}-2\,\vec{b}\cdot\vec{c}-4\,|\,\vec{c}\,|^{2})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\vec{a}\,|^{2}+|\,\vec{b}\,|^{2}-4\,|\,\vec{c}\,|^{2}+4\,\vec{a}\cdot\vec{b}-4\,\vec{a}\cdot\vec{c})
\end{eqnarray}\)
&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c}\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\vec{a}+\vec{b}-2\,\vec{c})\cdot(3\,\vec{a}+\vec{b}+2\,\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\vec{a}\,|^{2}+\vec{a}\cdot\vec{b}+2\,\vec{a}\cdot\vec{c}+3\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\,\vec{b}\,|^{2}+2\,\vec{b}\cdot\vec{c}-6\,\vec{a}\cdot\vec{c}-2\,\vec{b}\cdot\vec{c}-4\,|\,\vec{c}\,|^{2})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\vec{a}\,|^{2}+|\,\vec{b}\,|^{2}-4\,|\,\vec{c}\,|^{2}+4\,\vec{a}\cdot\vec{b}-4\,\vec{a}\cdot\vec{c})
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(4\,\vec{a}\cdot\vec{b}-4\,\vec{a}\cdot\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\vec{\rm CD}\cdot\vec{\rm OE}=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 演習問題B 7\({\small (1)}~\)\({\rm P}\) の存在範囲は、線分 \({\rm OA~,~OB}\) を隣り合う2辺とする平行四辺形の周および内部となる
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA^{\prime}}=3\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB^{\prime}}=3\vec{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとるとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm OA^{\prime}}=3\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB^{\prime}}=3\vec{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとるとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.49 演習問題B 8\({\small (1)}~\)点 \({\rm O}\) が中心で、半径 \(|\,\vec{a}\,|\) の円
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り、直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)点 \({\rm O}\) を通り、直線 \({\rm OA}\) に垂直な直線
■ この問題の詳しい解説はこちら！
次のページ「第２章 空間のベクトル」
