- 数学C｜平面上のベクトル「2点の座標とベクトルの成分・大きさ」の基本例題解説ページです。
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問題｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
平面上のベクトル 20\({\rm A}(4~,~ -5)~,~ {\rm B}(-2~,~ 3)\) について、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の成分と大きさの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
2点の座標とベクトルの成分・大きさ
Point：2点の座標とベクトルの成分・大きさ
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) より、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{\rm AB}
&=&\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right)
-\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}b_1-a_1\\[2pt]b_2-a_2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
※ 矢印の先の点 \(\rm B\) から点 \({\rm A}\) を引くと覚える。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
&=&\sqrt{\,\left(b_1-a_1\right)^2+\left(b_2-a_2\right)^2\,}
\end{eqnarray}\)
2点 \( {\rm A}(a_1~,~a_2)~,~{\rm B}(b_1~,~b_2) \) と原点 \( {\rm O} \) について、
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) より、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{\rm AB}
&=&\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\end{array}\,\right)
-\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}b_1-a_1\\[2pt]b_2-a_2\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
※ 矢印の先の点 \(\rm B\) から点 \({\rm A}\) を引くと覚える。
また、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
&=&\sqrt{\,\left(b_1-a_1\right)^2+\left(b_2-a_2\right)^2\,}
\end{eqnarray}\)
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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
平面上のベクトル 20\({\rm A}(4~,~ -5)~,~ {\rm B}(-2~,~ 3)\) について、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の成分と大きさの求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
原点を \( {\rm O} \) とすると、\(\overrightarrow{\rm OA}=\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-5\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2-4\\[2pt]3+5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-6\\[2pt]8\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
&=&\sqrt{\,(-6)^2+8^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,36+64\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,100\,}
\\[5pt]~~~&=&10
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm AB}=(-6~,~8)~,~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=10 \)
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
