このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅲ[701]
１章 関数と極限
１章 関数と極限
それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
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Advanced数学Ⅲ １章 関数と極限
Advanced数学Ⅲ ２章 微分
Advanced数学Ⅲ ３章 微分の応用
Advanced数学Ⅲ ４章 積分とその応用
目次
１章 関数と極限
１節 関数
p.7 問2\({\small (1)}~\)漸近線 \(x=-3~,~y=-1\)
解法のPoint｜分数関数のグラフと漸近線
\({\small (2)}~\)漸近線 \(x=2~,~y=-5\)
解法のPoint｜分数関数のグラフと漸近線
p.8 問3\({\small (1)}~\)漸近線 \(x=2~,~y=3\)
解法のPoint｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
\({\small (2)}~\)漸近線 \(x=-2~,~y=2\)
\({\small (3)}~\)漸近線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~y=-1\)
解法のPoint｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
p.9 問4\({\small (1)}~0\lt x \lt 1~,~2\lt x\)
\({\small (2)}~x\lt -2~,~-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\)
解法のPoint｜分数関数のグラフと不等式の解
\({\small (2)}~x\lt -2~,~-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\)
解法のPoint｜分数関数のグラフと不等式の解
p.10 問5\({\small (1)}~x{\small ~≧~}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと定義域・値域
\({\small (2)}~x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと定義域・値域
p.12 問7\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜無理関数の最大値・最小値
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜無理関数の最大値・最小値
p.13 問8\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}{\small ~≦~}x \lt 10\)
\({\small (2)}~x{\small ~≦~}-1\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと不等式の解
\({\small (2)}~x{\small ~≦~}-1\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと不等式の解
p.15 問9\({\small (1)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜1次関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-2\,}\)
解法のPoint｜分数関数の逆関数
解法のPoint｜1次関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\displaystyle \frac{\,2x-1\,}{\,x-2\,}\)
解法のPoint｜分数関数の逆関数
p.15 問10\({\small (1)}~y=3^x\)
\({\small (2)}~y=\log_{\frac{\,1\,}{\,2\,}}x\)
\({\small (3)}~y=2^x-1\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\log_{\frac{\,1\,}{\,2\,}}x\)
\({\small (3)}~y=2^x-1\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
p.17 問12\({\small (1)}~y=-x^2+4~~~(x{\small ~≦~}0)\)
解法のPoint｜2次関数と無理関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\left( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \right)^x\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
解法のPoint｜2次関数と無理関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\left( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \right)^x\)
\({\small (3)}~y=\log_{3}(-x)\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
p.18 問13\({\small (1)}~(g\circ f)(x)=-2x^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~(f\circ g)(x)=(x+1)^2\)
解法のPoint｜合成関数の求め方
\({\small (2)}~(f\circ g)(x)=(x+1)^2\)
解法のPoint｜合成関数の求め方
問題
p.19 問題 1\({\small (1)}~\)漸近線は \(x=3~,~y=-2\)
\({\small (2)}~\)漸近線は \(x=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~y=2\)
解法のPoint｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
\({\small (2)}~\)漸近線は \(x=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~y=2\)
解法のPoint｜1次式÷1次式の分数関数の式変形と平行移動
p.19 問題 2\({\small (1)}~y=2\sqrt{-x}\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと定義域・値域
\({\small (2)}~y=2\sqrt{x-3}\)
解法のPoint｜無理関数の式変形
解法のPoint｜無理関数のグラフと定義域・値域
\({\small (2)}~y=2\sqrt{x-3}\)
解法のPoint｜無理関数の式変形
p.19 問題 3\({\small (1)}~x\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\lt x\lt 2\)
解法のPoint｜分数関数のグラフと不等式の解
\({\small (2)}~1\lt x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと不等式の解
解法のPoint｜分数関数のグラフと不等式の解
\({\small (2)}~1\lt x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜無理関数のグラフと不等式の解
p.19 問題 4\({\small (1)}~y=-x^2+1~~(x{\small ~≦~}0)\)
解法のPoint｜2次関数と無理関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\log_{2}(x+1)-1\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
解法のPoint｜2次関数と無理関数の逆関数
\({\small (2)}~y=\log_{2}(x+1)-1\)
解法のPoint｜指数関数・対数関数の逆関数
p.19 問題 6\((f \circ g)(x)=x-1\) 、定義域 \(x \neq 3\)
\((g \circ f)(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}\) 、定義域 \(x \neq 1~,~2\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\((g \circ f)(x)=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}\) 、定義域 \(x \neq 1~,~2\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
２節 数列の極限
p.23 問1\({\small (1)}~\)正の無限大に発散
\({\small (2)}~2\) に収束
\({\small (3)}~\)負の無限大に発散
\({\small (4)}~\)発散(振動)
解法のPoint｜数列の収束と発散
\({\small (2)}~2\) に収束
\({\small (3)}~\)負の無限大に発散
\({\small (4)}~\)発散(振動)
解法のPoint｜数列の収束と発散
p.25 問2\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~\infty\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (4)}~0\)
\({\small (5)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜数列の極限と不定形
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (4)}~0\)
\({\small (5)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (6)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜数列の極限と不定形
p.24 問31\({\small (1)}~-\infty\) \({\small (2)}~\infty\)
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~-1\)
\({\small (5)}~3\) \({\small (6)}~2\)
解法のPoint｜数列の極限と不定形
解法のPoint｜平方根を含む数列の極限
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~-1\)
\({\small (5)}~3\) \({\small (6)}~2\)
解法のPoint｜数列の極限と不定形
解法のPoint｜平方根を含む数列の極限
p.29 問5\({\small (1)}~0\)
\({\small (2)}~\)極限は存在しない(振動する)
\({\small (3)}~0\)
\({\small (4)}~-\infty\)
解法のPoint｜無限等比数列の極限
\({\small (2)}~\)極限は存在しない(振動する)
\({\small (3)}~0\)
\({\small (4)}~-\infty\)
解法のPoint｜無限等比数列の極限
p.30 問7\({\small (1)}~\)
\(~~~[1]~ 0\lt r\lt 1\) のとき、\(0\)
\(~~~[2]~ r=1\) のとき、\(1\)
\(~~~[3]~ r\gt 1\) のとき、\(3\)
\({\small (2)}~\)
\(~~~[1]~ | r|\lt 1\) のとき、\(1\)
\(~~~[2]~ r=1\) のとき、\(0\)
\(~~~[3]~ |r|\gt 1\) のとき、\(-1\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(~~~[1]~ 0\lt r\lt 1\) のとき、\(0\)
\(~~~[2]~ r=1\) のとき、\(1\)
\(~~~[3]~ r\gt 1\) のとき、\(3\)
\({\small (2)}~\)
\(~~~[1]~ | r|\lt 1\) のとき、\(1\)
\(~~~[2]~ r=1\) のとき、\(0\)
\(~~~[3]~ |r|\gt 1\) のとき、\(-1\)
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p.33 問9\({\small (1)}~\)収束、和は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\)発散
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
\({\small (2)}~\)発散
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
p.35 問10\({\small (1)}~\)収束、和は \(128\)
\({\small (2)}~\)発散
\({\small (3)}~\)収束、和は \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,11\,}\)
解法のPoint｜無限等比級数の収束・発散
\({\small (2)}~\)発散
\({\small (3)}~\)収束、和は \(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,11\,}\)
解法のPoint｜無限等比級数の収束・発散
p.35 問11\({\small (1)}~-3\lt x \lt 3\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3-x\,}\)
\({\small (2)}~0\lt x \lt 2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~0\lt x \lt 2\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.37 問13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,37\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,234\,}{\,55\,}\)
解法のPoint｜循環小数と無限等比級数
解法のPoint｜循環小数と無限等比級数
p.38 問14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜無限級数の和の性質を用いた計算
解法のPoint｜無限級数の和の性質を用いた計算
p.39 問15[証明]
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\)
分子の数列の和について、和の公式を用いて \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\,}{\,n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}\end{eqnarray}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) は発散する
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) の第 \(n\) 項を \(a_n\) とすると、
\(a_n=\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\)
分子の数列の和について、和の公式を用いて \(n\) の式で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&1+2+3+\cdots+n
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a_n&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}n(n+1)\,}{\,n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n(n+1)\,}{\,2n^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}\end{eqnarray}\)
数列 \(\{a_n\}\) の極限について、\(n \to \infty\) のとき、分子と分母はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
よって、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}&=&\displaystyle \frac{\,1+0\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \neq 0\)
よって、数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しない
したがって、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,1+2+3+\cdots+n\,}{\,n^2\,}\) は発散する
[終]
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問題
p.40 問題 7\({\small (1)}~a_n=n~,~b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n^2\,}\)
\({\small (2)}~a_n=n^2~,~b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
\({\small (3)}~a_n=n~,~b_n=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,n\,}\)
解法のPoint｜数列の極限の性質を用いた計算
\({\small (2)}~a_n=n^2~,~b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
\({\small (3)}~a_n=n~,~b_n=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,n\,}\)
解法のPoint｜数列の極限の性質を用いた計算
p.40 問題 8\({\small (1)}~-3\) \({\small (2)}~-\infty\)
解法のPoint｜数列の極限と不定形
\({\small (3)}~5\)
解法のPoint｜平方根を含む数列の極限
\({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜三角関数の数列とはさみうちの原理
\({\small (5)}~-1\)
解法のPoint｜無限等比数列の極限と不定形
解法のPoint｜数列の極限と不定形
\({\small (3)}~5\)
解法のPoint｜平方根を含む数列の極限
\({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜三角関数の数列とはさみうちの原理
\({\small (5)}~-1\)
解法のPoint｜無限等比数列の極限と不定形
p.40 問題 9\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\lt a\lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(0\)
\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(3\)
解法のPoint｜無限等比数列が収束する条件
\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(3\)
解法のPoint｜無限等比数列が収束する条件
p.40 問題 11\({\small (1)}~\)収束、和は \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)発散
\({\small (3)}~\)発散
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
\({\small (2)}~\)発散
\({\small (3)}~\)発散
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
３節 関数の極限
p.43 問2\({\small (1)}~-3\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}\)
解法のPoint｜関数の極限の計算
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,36\,}\)
解法のPoint｜関数の極限の計算
p.47 問6\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜無限大に向かう関数の極限と不定形
解法のPoint｜無限大に向かう関数の極限と不定形
p.48 問8\({\small (1)}~\infty\) \({\small (2)}~-\infty\)
\({\small (3)}~\infty\)
解法のPoint｜無限大に向かう無理関数の極限
\({\small (3)}~\infty\)
解法のPoint｜無限大に向かう無理関数の極限
p.49 問9\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~-\infty\)
\({\small (3)}~\infty\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
\({\small (3)}~\infty\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
p.56 問14\({\small (1)}~(2~,~5)\)
\({\small (2)}~[-3~,~4]\)
\({\small (3)}~(-\infty~,~7]\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
\({\small (2)}~[-3~,~4]\)
\({\small (3)}~(-\infty~,~7]\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
p.57 問16\({\small (1)}~(-\infty~,~-2)~,~(-2~,~\infty)\)
\({\small (2)}~(-\infty~,~-3)~,~(-3~,~0)\)
\(~~~~~~~~~,~(0~,~3)~,~(3~,~\infty)\)
\({\small (3)}~\left(-\infty~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right]\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
\({\small (2)}~(-\infty~,~-3)~,~(-3~,~0)\)
\(~~~~~~~~~,~(0~,~3)~,~(3~,~\infty)\)
\({\small (3)}~\left(-\infty~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right]\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
p.58 問17\({\small (1)}~\)最大値なし、最小値 \(-1\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(-1\)、最小値 \(-3\)
解法のPoint｜閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件
\({\small (2)}~\)最大値 \(-1\)、最小値 \(-3\)
解法のPoint｜閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件
p.59 問18[証明] \(f(x)=x-2\sin x-3\) とおくと、
\(x~,~2\sin x~,~3\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(0)~,~f(\pi)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0-2\sin 0-3
\\[3pt]~~~&=&0-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&-3\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(\pi)&=&\pi-2\sin \pi-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-3\gt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ \pi\gt 3\,)\end{eqnarray}\)
よって、\(f(0)\) と \(f(\pi)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(x-2\sin x-3=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
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\(x~,~2\sin x~,~3\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([0~,~\pi]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(0)~,~f(\pi)\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(0)&=&0-2\sin 0-3
\\[3pt]~~~&=&0-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&-3\lt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(\pi)&=&\pi-2\sin \pi-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-2 \cdot 0-3
\\[3pt]~~~&=&\pi-3\gt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ \pi\gt 3\,)\end{eqnarray}\)
よって、\(f(0)\) と \(f(\pi)\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(x-2\sin x-3=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
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問題
p.60 問題 13\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~0\)
解法のPoint｜関数の極限の計算
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
\({\small (5)}~3\)
解法のPoint｜sinx/xの公式を使った三角関数の極限
\({\small (6)}~-1\)
解法のPoint｜置き換えを行う三角関数の極限
解法のPoint｜関数の極限の計算
\({\small (3)}~0\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
\({\small (5)}~3\)
解法のPoint｜sinx/xの公式を使った三角関数の極限
\({\small (6)}~-1\)
解法のPoint｜置き換えを行う三角関数の極限
p.60 問題 17\({\small (1)}~\left(-\infty~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\infty\right)\)
\({\small (2)}~(-\infty~,~0)~,~(0~,~\infty)\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
\({\small (2)}~(-\infty~,~0)~,~(0~,~\infty)\)
解法のPoint｜関数の連続・不連続の調べ方
p.60 問題 18[証明] \(f(x)=\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}\) とおくと、
\(\log_{10}x\) と \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([10~,~10\sqrt{10}]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(10)~,~f(10\sqrt{10})\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(10)&=&\log_{10}10-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\gt 0\end{eqnarray}\)
また、
よって、\(f(10)\) と \(f(10\sqrt{10})\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}=0\) は \(10 \lt x \lt 10\sqrt{10}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
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\(\log_{10}x\) と \(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}\) はともに連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([10~,~10\sqrt{10}]\) で連続である
次に、区間の両端の値 \(f(10)~,~f(10\sqrt{10})\) を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~f(10)&=&\log_{10}10-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\gt 0\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~f(10\sqrt{10})&=&\log_{10}10\sqrt{10}-\displaystyle \frac{\,10\sqrt{10}\,}{\,20\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10^{\large \frac{3}{2}}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{10}\,}{\,2\,}\lt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ 3=\sqrt{9}\lt \sqrt{10}\,)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\log_{10}10^{\large \frac{3}{2}}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{10}\,}{\,2\,}\lt 0 \hspace{30pt}(\,∵~ 3=\sqrt{9}\lt \sqrt{10}\,)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(f(10)\) と \(f(10\sqrt{10})\) は異符号である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(\log_{10}x-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,20\,}=0\) は \(10 \lt x \lt 10\sqrt{10}\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ [終]
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p.60 問題 19[証明] 係数がすべて実数である \(3\) 次方程式を \(ax^3+bx^2+cx+d=0~(a \neq 0)\) とし、左辺を \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) とおくと、
\(ax^3~,~bx^2~,~cx~,~d\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) はすべての実数 \(x\) で連続である
次に、\(x \to \infty\) と \(x \to -\infty\) のときの \(f(x)\) の極限を調べると、
\(x \neq 0\) のとき、
\(f(x)=x^3\left(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,}\right)\)
\(x \to \infty\) または \(x \to -\infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to 0\) であるので、
\(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to a\)
また、\(x \to \infty\) のとき \(x^3 \to \infty\)、
\(x \to -\infty\) のとき \(x^3 \to -\infty\) であるので、
\({\small (1)}~\) \(a \gt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\)
よって、\(f(p)\lt 0~,~f(q)\gt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (2)}~\) \(a \lt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty\)
よって、\(f(p)\gt 0~,~f(q)\lt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、いずれの場合も \(f(p)\) と \(f(q)\) は異符号である
また、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([p~,~q]\) で連続である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(f(x)=0\) は \(p \lt x \lt q\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつので、係数がすべて実数である \(3\) 次方程式は実数解を少なくとも \(1\) つもつ [終]
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\(ax^3~,~bx^2~,~cx~,~d\) はいずれも連続な関数であるので、関数 \(f(x)\) はすべての実数 \(x\) で連続である
次に、\(x \to \infty\) と \(x \to -\infty\) のときの \(f(x)\) の極限を調べると、
\(x \neq 0\) のとき、
\(f(x)=x^3\left(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,}\right)\)
\(x \to \infty\) または \(x \to -\infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,} \to 0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to 0\) であるので、
\(a+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,c\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,d\,}{\,x^3\,} \to a\)
また、\(x \to \infty\) のとき \(x^3 \to \infty\)、
\(x \to -\infty\) のとき \(x^3 \to -\infty\) であるので、
\({\small (1)}~\) \(a \gt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\)
よって、\(f(p)\lt 0~,~f(q)\gt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (2)}~\) \(a \lt 0\) のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty~,~\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty\)
よって、\(f(p)\gt 0~,~f(q)\lt 0\) となる実数 \(p~,~q~(p \lt q)\) が存在する
\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より、いずれの場合も \(f(p)\) と \(f(q)\) は異符号である
また、関数 \(f(x)\) は閉区間 \([p~,~q]\) で連続である
したがって、中間値の定理より、方程式 \(f(x)=0\) は \(p \lt x \lt q\) の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつので、係数がすべて実数である \(3\) 次方程式は実数解を少なくとも \(1\) つもつ [終]
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練習問題 関数と極限
p.62 練習問題A 5\({\small (1)}~|\,r\,|\lt 1\) のとき \(0\)
\(r=-1\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,|\gt 1\) のとき \(r\)
\({\small (2)}~|\,r\,|\lt 2\) のとき \(-2\)
\(|\,r\,|=2\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,|\gt 2\) のとき \(1\)
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\(r=-1\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(r=1\) のとき \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,|\gt 1\) のとき \(r\)
\({\small (2)}~|\,r\,|\lt 2\) のとき \(-2\)
\(|\,r\,|=2\) のとき \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(|\,r\,|\gt 2\) のとき \(1\)
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p.62 練習問題A 6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(n+1)(n+2)\,}\right\}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜無限級数の収束とその和
p.62 練習問題A 7\({\small (1)}~1\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜sinx/xの公式を使った三角関数の極限
\({\small (3)}~2\)
解法のPoint｜置き換えを行う三角関数の極限
\({\small (4)}~\infty\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜sinx/xの公式を使った三角関数の極限
\({\small (3)}~2\)
解法のPoint｜置き換えを行う三角関数の極限
\({\small (4)}~\infty\)
解法のPoint｜指数関数と対数関数の極限と不定形
p.63 練習問題B 9\(-\sqrt{2}\lt x\lt \sqrt{2}\)
\(x=0\) のとき、和は \(0\)
\(-\sqrt{2}\lt x\lt 0~,~0\lt x\lt \sqrt{2}\) のとき、和は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜無限等比数列が収束する条件
\(x=0\) のとき、和は \(0\)
\(-\sqrt{2}\lt x\lt 0~,~0\lt x\lt \sqrt{2}\) のとき、和は \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\)
解法のPoint｜無限等比数列が収束する条件
p.63 練習問題B 11\({\small (1)}~S_n=\displaystyle \frac{\,1-(-1)^n\,}{\,2\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~T_n&=&\left\{~\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}~~(n\,が奇数のとき)\\[5pt]\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~~(n\,が偶数のとき)\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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\(\begin{eqnarray}~~~T_n&=&\left\{~\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2n\,}~~(n\,が奇数のとき)\\[5pt]\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~~(n\,が偶数のとき)\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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