- 数学Ⅲ｜極限「平方根を含む数列の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜平方根を含む数列の極限
極限 04第 \(n\) 項が \(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}\) である数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
平方根を含む数列の極限
Point：平方根を含む数列の極限
\((\sqrt{\,A\,}-\sqrt{\,B\,})(\sqrt{\,A\,}+\sqrt{\,B\,})=A-B\)
根号を含む不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの各項の極限を調べて、\(\infty-\infty\) の不定形かどうかを確認する。
② 分子が \(\infty-\infty\) の形のときは、分母が \(1\) の分数とみて分子を有理化する。
\(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n=\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\,}\)
③ 分母が \(\infty-\infty\) の形のときは、分母を有理化する。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}=\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\)
④ 有理化した後に \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形となるときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割り、極限を求める。
\(n \to \infty\) のとき、根号を含む式が \(\infty-\infty\) の不定形となる場合は、次の式を用いて分子または分母を有理化する。
\((\sqrt{\,A\,}-\sqrt{\,B\,})(\sqrt{\,A\,}+\sqrt{\,B\,})=A-B\)
根号を含む不定形を解消して極限を求める手順は、
① \(n \to \infty\) のときの各項の極限を調べて、\(\infty-\infty\) の不定形かどうかを確認する。
② 分子が \(\infty-\infty\) の形のときは、分母が \(1\) の分数とみて分子を有理化する。
\(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n=\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\,}\)
③ 分母が \(\infty-\infty\) の形のときは、分母を有理化する。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}=\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\)
④ 有理化した後に \(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の形となるときは、分母の最高次数の文字で、分母と分子のすべての項を割り、極限を求める。
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詳しい解説｜平方根を含む数列の極限
極限 04第 \(n\) 項が \(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}\) である数列の極限の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
第 \(n\) 項が \(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、\(\sqrt{\,n^2+2n\,}\) と \(n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分母が \(1\) の分数とみて、分母と分子に \(\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\) を掛けて分子を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n)(\sqrt{\,n^2+2n\,}+n)\,}{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,(n^2+2n)-n^2\,}{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、分子 \(2n\) と分母 \(\sqrt{\,n^2+2n\,}+n\) はともに \(\infty\) に発散するので、\(\displaystyle \frac{\,\infty\,}{\,\infty\,}\) の不定形となる
ここで、分母の最高次数の文字 \(n\) で、分母と分子のすべての項を割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2n\,}{\,n\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n^2+2n\,}\,}{\,n\,}+\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ \(n \gt 0\) より \(n=\sqrt{\,n^2\,}\) として、\(\sqrt{\,n^2+2n\,}\) を割る。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,n^2+2n\,}{\,n^2\,}\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,}\,}+1\,}\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,n\,} \to 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,1+0\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n)=1\) となる
第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}\) である数列の極限について、
\(n \to \infty\) のとき、分母の \(\sqrt{\,n+1\,}\) と \(\sqrt{\,n\,}\) はともに \(\infty\) に発散するので、分母が \(\infty-\infty\) の不定形となる
ここで、分母と分子に \(\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\) を掛けて分母を有理化すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}{\,(\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,})(\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}{\,(n+1)-n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,})\end{eqnarray}\)
\(n \to \infty\) のとき、\(\sqrt{\,n+1\,}\) と \(\sqrt{\,n\,}\) はともに \(\infty\) に発散するので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\infty\end{eqnarray}\)
※ \(\infty\) と \(\infty\) の和は \(\infty\) に発散するので、不定形ではない。
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}=\infty\) となる
