- 数学Ⅲ｜極限「三角関数の数列とはさみうちの原理」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の数列とはさみうちの原理
極限 05数列 \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta\) の極限のはさみうちの原理を用いた求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
三角関数の数列とはさみうちの原理
Point：三角関数の数列とはさみうちの原理
① \(\sin n\theta\) のとりうる値の範囲を不等式で表す。
\(-1{\small ~≦~}\sin n\theta{\small ~≦~}1\)
② 各辺に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) をかけて、\(a_n\) を \(2\) つの数列ではさむ。
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
③ はさんだ \(2\) つの数列の極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)=0~,~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0\)
④ \(2\) つの極限が一致するので、はさみうちの原理より \(a_n\) の極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta=0\)
\(\sin n\theta\) を含む数列の極限は、
① \(\sin n\theta\) のとりうる値の範囲を不等式で表す。
\(-1{\small ~≦~}\sin n\theta{\small ~≦~}1\)
② 各辺に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) をかけて、\(a_n\) を \(2\) つの数列ではさむ。
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
③ はさんだ \(2\) つの数列の極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)=0~,~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0\)
④ \(2\) つの極限が一致するので、はさみうちの原理より \(a_n\) の極限を求める。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta=0\)
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詳しい解説｜三角関数の数列とはさみうちの原理
極限 05数列 \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta\) の極限のはさみうちの原理を用いた求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
※ \(\sin n\theta\) の値は \(n\) によって変わり、一定の値に近づくとは限らないので、直接は極限を求められない。
正弦の値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、すべての自然数 \(n\) について、
\(-1{\small ~≦~}\sin n\theta{\small ~≦~}1\)
が成り立つ
次に、\(n\gt 0\) より、各辺に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) をかけても不等号の向きは変わらないので、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
よって、
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}{\small ~≦~}a_n{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\)
となり、\(a_n\) を \(2\) つの数列 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\) ではさむことができる
また、はさんだ \(2\) つの数列の極限は、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\right)=0~,~\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}=0\)
\(2\) つの極限が一致するので、はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta=0\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0\) となる
