- 数学Ⅲ「極限」の基本例題一覧ページです。
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数列の極限
01｜数列の収束と発散
極限 01第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}~,~\)\(\sqrt{n}~,~\)\(-n^2~,~\)\((-1)^{n-1}\) で表される数列の収束or発散の調べ方は？
02｜数列の極限の性質を用いた計算
極限 02極限値 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=2~,~\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n=-3\) のとき、\(3a_n-4b_n\) や \(a_nb_n\) の極限の求め方は？
03｜数列の極限と不定形
極限 03第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,2n+1\,}{\,n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3n^2-n+1\,}{\,n^2+1\,}~,~\)\(n^3-n^2~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n+1\,}{\,2n-1\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,n^2+n+1\,}{\,n+1\,}\) である数列の極限の求め方は？
04｜平方根を含む数列の極限
極限 04第 \(n\) 項が \(\sqrt{\,n^2+2n\,}-n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}-\sqrt{\,n\,}\,}\) である数列の極限の求め方は？
05｜三角関数の数列とはさみうちの原理
極限 05数列 \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\sin n\theta\) の極限のはさみうちの原理を用いた求め方は？
06☆｜数列の和を含む数列の極限
極限 06☆極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,1+2+3+\cdots+n\,}\) の求め方は？
07☆｜二項定理と数列の極限
極限 07☆\(n\) を自然数とするとき、不等式 \(2^n {\small ~≧~} 1+n+\displaystyle \frac{\,n(n-1)\,}{\,2\,}\) が成り立つことの証明方法は？また、極限 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,2^n\,}\) の求め方は？
無限等比数列
08｜無限等比数列の極限
極限 08第 \(n\) 項が \(3^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^n~,~\)\((-3)^n~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)^n\) の無限等比数列の極限の求め方は？
09｜無限等比数列の極限と不定形
極限 09第 \(n\) 項が \(3^n-2^n~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5^n-3^n\,}{\,2^n\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,3^n+2^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
10｜無限等比数列が収束する条件
極限 10第 \(n\) 項が \(\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,3\,}\right)^n\) の数列が収束するときの \(x\) の値の範囲と極限値の求め方は？
11｜rⁿを含む数列の極限
極限 11\(r \neq -1\) のとき、第 \(n\) 項が \(\displaystyle \frac{\,r^n\,}{\,1+r^n\,}\) の数列の極限の求め方は？
12｜漸化式と数列の極限
極限 12漸化式 \(a_1=4~,~a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}a_n+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で定められる数列の極限の求め方は？
13☆｜数学的帰納法と数列の極限
極限 13☆\(a_1=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\)\(a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,2a_n\,}{\,a_n+1\,}\) で定義される数列の一般項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,2^n\,}{\,2^n+1\,}\) であることを数学的帰納法で証明し、数列 \(\{a_n\}\) の極限を求める方法は？
無限級数
14｜無限級数の収束とその和
極限 14第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n(n+1)\,}\) の無限級数が収束するときの和の求め方は？また、第 \(n\) 項が \(a_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,n+1\,}+\sqrt{\,n\,}\,}\) の無限級数の収束or発散の調べ方は？
15｜無限等比級数の収束・発散
極限 15無限等比級数 \(1+\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+\cdots\) や \(8+4\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}+\cdots\) の収束or発散の調べ方と和の求め方は？
16｜無限等比級数が収束する条件
極限 16無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) が収束するときの \(x\) の値の範囲とそのときの和の求め方は？
17｜数直線を動く点と無限等比級数
極限 17数直線上を点 \({\rm P}\) が原点から \(+1~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^2\,}~,~\)\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2^3\,}~,~\)\(\cdots\) と進むとき、点 \({\rm P}\) はどんな点に近づくか？
18｜図形の性質と無限等比級数
極限 18\(1\) 辺の長さ \(3\) の正方形の横に \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べて、さらに \(1\) 辺の長さが半分の正方形を並べることを無限に続けたとき、すべての正方形の面積の和の求め方は？
19｜循環小数と無限等比級数
極限 19循環小数 \(0.333\cdots\) や \(0.1212\cdots\) を無限等比級数を用いて分数で表す方法は？
20｜無限級数の和の性質を用いた計算
極限 20無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5^n\,}-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2^n\,}\right)~,~\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,3^n-2^n\,}{\,5^n\,}\) の求め方は？
21｜無限級数が発散することの証明
極限 21無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle \frac{\,n\,}{\,n+1\,}\) が発散することを示す方法は？
関数の極限
22｜関数の極限の計算
極限 22極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x^2+x+1)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2+1\,}{\,x^2+x+1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x^2-1\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,\sqrt{x}-1\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
23｜関数の極限の等式と係数の決定
極限 23等式 \(\displaystyle\lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,a\sqrt{x}-b\,}{\,x-1\,}=3\) が成り立つときの \(a~,~b\) の値の求め方は？
24｜x²の分数関数の極限
極限 24関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\left\{-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(x-1)^2\,}\right\}\) の求め方は？
25｜絶対値・ガウス記号・分数関数の片側極限
極限 25関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to +0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,|\, x \,|\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\,[\,x\,]~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\,[\,x\,]\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1+0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1-0}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\displaystyle \frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) の求め方は？
26｜無限大に向かう関数の極限
極限 26関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^2~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^3~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^4\) の求め方は？
27｜無限大に向かう関数の極限と不定形
極限 27関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(x^2-2x+3)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,x^2-4x+1\,}{\,x^2-1\,}\) の求め方は？
28｜無限大に向かう無理関数の極限
極限 28関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{\,x+1\,}-\sqrt{\,x\,})\) の求め方は？また、関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{\,x^2+x\,}+x)\) を \(x=-t\) と置き換えて求める方法は？
いろいろな関数の極限
29｜指数関数と対数関数の極限
極限 29関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}2^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{2}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to +0}\log_{\frac{1}{2}}x\) の求め方は？
30｜指数関数と対数関数の極限と不定形
極限 30関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}(3^x-2^x)~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,3^x-2^x\,}{\,3^x+2^x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\{\log_{3}(9x-1)-\log_{3}(x+1)\}\) の求め方は？
31｜三角関数の極限
極限 31関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\cos x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\tan x~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の求め方は？
32｜三角関数の極限とはさみうちの原理
極限 32関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}x\cos\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,\sin x\,}{\,x\,}\) の求め方は？
33｜sinx/xの公式を使った三角関数の極限
極限 33極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 2x\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\sin 5x\,}{\,\sin 3x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,\tan x\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\displaystyle \frac{\,x\sin x\,}{\,1-\cos x\,}\) の求め方は？
34｜置き換えを行う三角関数の極限
極限 34極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x\sin\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\displaystyle \frac{\,\cos x\,}{\,2x-\pi\,}\) の求め方は？
35｜図形の性質と三角関数の極限
極限 35点 \({\rm O}\) における中心角が \(2\theta\) で、弧 \({\rm AB}\) をもつような半径 \(r\) のおうぎ形において、\(\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\displaystyle \frac{\,\overset{\frown}{{\rm AB}}\,}{\,{\rm AB}\,}\) の値の求め方は？
36｜放物線上の点と関数の極限
極限 36放物線 \(y=x^2\) 上の第 \(1\) 象限にある点 \({\rm P}\) に対して、\({\rm OR}={\rm PR}\) となる \(y\) 軸上の点を \({\rm R}\) とし、点 \({\rm P}\) が原点 \({\rm O}\) に限りなく近づくとき、点 \({\rm R}\) が近づいていく点の座標の求め方は？
関数の連続性
37｜関数の連続・不連続の調べ方
極限 37関数 \(f(x)=x+2~,~\)\(f(x)=x^2~,~\)\(f(x)=[\,x\,]\) の \(x=0\) での連続or不連続の調べ方は？また、関数 \(f(x)=\sqrt{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x-2\,}~,~\)\(f(x)=\log_{2}|\,x\,|\) の連続性の調べ方は？
38｜閉区間と関数が最大値・最小値をもつ条件
極限 38関数 \(f(x)=\sin x\) が区間 \([0~,~\pi]\) で最大値・最小値をもつかどうかの調べ方は？また、区間 \((0~,~\pi)\) では？
39｜範囲内に実数解をもつ条件と中間値の定理
極限 39方程式 \(\cos x-x=0\) は \(0 \lt x \lt \pi\) に少なくとも \(1\) つの実数解をもつことの証明方法は？
40☆｜極限・無限級数で表された関数の不連続
極限 40☆関数 \(f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle \frac{\,x^{2n+1}+x^{2n}+1\,}{\,x^{2n}+1\,}\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？また、無限等比級数 \(x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots\) の和を \(f(x)\) とするとき、\(y=f(x)\) のグラフをかき、不連続となる \(x\) の値の求め方は？
