- 数学Ⅲ｜極限「無限大に向かう関数の極限」の基本例題解説ページです。
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問題｜無限大に向かう関数の極限
極限 26関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^2~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^3~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^4\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
解法のPoint
無限大に向かう関数の極限
Point：無限大に向かう関数の極限
\(x \to \infty\) のとき、\(f(x)\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づくならば、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\alpha\)
\(x \to \infty\) や \(x \to -\infty\) のとき、\(f(x)\) の値が限りなく大きくなる、または負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\)
\(x\) が限りなく大きくなることを \(x \to \infty\)、\(x\) が負でその絶対値が限りなく大きくなることを \(x \to -\infty\) と表す。
\(x \to \infty\) のとき、\(f(x)\) が一定の値 \(\alpha\) に限りなく近づくならば、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\alpha\)
※ \(x \to -\infty\) のときも同様に考える。
\(x \to \infty\) や \(x \to -\infty\) のとき、\(f(x)\) の値が限りなく大きくなる、または負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty\)
※ グラフをかいて、\(x \to \infty\) や \(x \to -\infty\) のときの \(y\) の値の変化を調べる。
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詳しい解説｜無限大に向かう関数の極限
極限 26関数の極限 \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^2~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^3~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^4\) の求め方は？
高校数学Ⅲ｜極限
\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0\)
また、\(x \to -\infty\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) の値は \(0\) に限りなく近づくので、
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0\)
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0~,~\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=0\) となる
\(y=x^2\) のグラフは、
\(x \to -\infty\) のとき、\(x^2\) の値は限りなく大きくなる
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^2=\infty\) となる
\(y=x^3\) のグラフは、
\(x \to -\infty\) のとき、\(x^3\) の値は負でその絶対値が限りなく大きくなる
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}x^3=-\infty\) となる
\(y=x^4\) のグラフは、
\(x \to \infty\) のとき、\(x^4\) の値は限りなく大きくなる
したがって、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^4=\infty\) となる
