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【問題一覧】数学A:場合の数と確率

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このページは「高校数学A:場合の数と確率」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学A:場合の数と確率

集合の要素の個数

問題1~100までの自然数のうち、2の倍数の集合を \(\rm A\)、3の倍数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~n({\rm A})$$$${\small (2)}~n({\rm B})$$$${\small (3)}~n({\rm A} \cap {\rm B})$$$${\small (4)}~n({\rm A} \cup {\rm B})$$

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【解答】$${\small (1)}~n({\rm A})=50$$$${\small (2)}~n({\rm B})=33$$$${\small (3)}~n({\rm A} \cap {\rm B})=16$$$${\small (4)}~n({\rm A} \cup {\rm B})=67$$

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集合の要素の個数
今回は集合において、その集合に属する要素の個数の表し方を解説していきます。また、倍数の数え方もしっかり覚えておきましょう。

 

補集合の要素の個数

問題あるクラスの生徒 \(40\) 人に数学と英語の好き・嫌いのアンケートを行った。数学が好きな生徒は \(21\) 人、英語が好きな生徒は \(17\) 人、どちらも好きな生徒は \(8\) 人いた。このとき、次の生徒の人数を答えよ。
\({\small (1)}~\)数学が嫌いな生徒
\({\small (2)}~\)数学が嫌いで英語が好きな生徒
\({\small (3)}~\)数学と英語の少なくとも一方が好きな生徒
\({\small (4)}~\)数学と英語のどちらも嫌いな生徒

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)19人\(~~~~~~{\small (2)}~\)9人
\({\small (3)}~\)30人\(~~~~~~{\small (4)}~\)10人

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補集合の要素の個数
今回は補集合についての要素の個数の求め方を解説していきます。ド・モルガンの法則についてもおさえておきましょう。

 

3つの集合の要素の個数

問題1~100までの自然数のうち、2の倍数の集合を \(\rm A\)、3の倍数の集合を \(\rm B\) とするとき、5の倍数の集合を \(\rm C\) とするとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~n({\rm A} \cap {\rm C})$$$${\small (2)}~n({\rm B} \cup {\rm C})$$$${\small (3)}~n({\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C})$$$${\small (4)}~n({\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C})$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~n({\rm A} \cap {\rm C})=10$$$${\small (2)}~n({\rm B} \cup {\rm C})=47$$$${\small (3)}~n({\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C})=3$$$${\small (4)}~n({\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C})=74$$

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3つの集合の要素の個数
3つの集合の要素の個数について解説していきます。このときでも基本は同じでベン図を描いて視覚的に解いていきましょう。また、倍数の数え方もおさえておきましょう。

 

和の法則と積の法則

問題A町からB町までは3つの交通手段があり、B町からC町までは4つの交通手段があり、A町からC町まで直接行く交通手段は2つある。A町からC町まで行く方法は全部で何通りあるか答えよ。

[ 解答を見る ]

【解答】
\(~~~\)14通り

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和の法則と積の法則
今回は場合の数と確率を計算していくうえで大事になる2つの法則である「和の法則と積の法則」を解説していきます。この2つの法則の違いを理解しておきましょう。

 

約数の個数と展開式の項の個数

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(200\) の正の約数の個数を求めよ。
\({\small (2)}~\)\(360\) の正の約数の個数を求めよ。
\({\small (3)}~\)\((x+y)(a+b+c)\) を展開すると、項はいくつできるか。

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)12個\(~~~~~~{\small (2)}~\)24個\(~~~~~~{\small (3)}~\)6個

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約数の個数と展開式の項の数
今回は約数の個数と展開式の項の数の2つの問題パターンを解説していきます。それぞれ求め方を覚えておきましょう。

 

順列と階乗の記号

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~{}_{5}{\rm P}_{3}$$$${\small (2)}~{}_{6}{\rm P}_{0}$$$${\small (3)}~{}_{4}{\rm P}_{4}$$$${\small (4)}~6!$$$${\small (5)}~0!$$$${\small (6)}~7!\div5!$$
[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~60~~~~~~~~{\small (2)}~1~~~~~~{\small (3)}~24$$$${\small (4)}~720~~~~~~{\small (5)}~1~~~~~~{\small (6)}~42$$

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順列と階乗の記号
今回は順列と階乗の記号とその計算方法について解説していきます。計算方法をしっかりお覚えておきましょう。

 

文字の順列

問題 \(a,b,c,d,e\) を一列に並べるとき、次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(a,b\) が隣り合う並べ方
\({\small (2)}~\)\(a,b\) が両端にくる並べ方

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【解答】
\({\small (1)}~\)48通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)12通り

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文字の順列
今回は文字を並べる順列の解法についてです。ただ単に並べるだけでなく、条件があるパターンで順列の記号 P を使っても解けないものが多いのでパターン別に解法をおさえておきましょう

 

数字の順列

問題0 , 1 , 2 , 3 , 4 の5つの数字が1つずつあるとき、次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)3桁の整数
\({\small (2)}~\)3桁の暗証番号
\({\small (3)}~\)3桁の偶数
\({\small (4)}~\)3桁の整数のうち、300以上の整数

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)48通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)60通り
\({\small (3)}~\)30通り\(~~~~~~{\small (4)}~\)24通り

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数字の順列
今回は数字を並べるパターンを理解していきましょう。「箱を描いて、それぞれの箱に入れる場合の数を考える」解法を用いて解きましょう。

 

円順列とじゅず順列

問題8種類の球を用いて次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)円状に並べる方法
\({\small (2)}~\)じゅずを作るときの方法

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【解答】
\({\small (1)}~\)5040通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)2520通り

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円順列とじゅず順列
円順列とじゅず順列について解説します。円順列では回転したときにダブりが出てくることです。じゅず順列に関しては表裏でのダブりも考慮しましょう。

 

条件付き円順列

問題先生2人と生徒4人が円形のテーブルに座るとき、次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)すべての座り方
\({\small (2)}~\)先生2人が隣り合う座り方
\({\small (3)}~\)先生2人が向い合う座り方

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)120通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)48通り\(~~~~~~{\small (3)}~\)24通り

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条件付き円順列
今回は様々な条件の付いた円順列を解説していきます。基本的な解法は前回の「特定のものを固定させる!」となります。

 

重複を許す順列

問題次の場合の数を答えよ。
\({\small (1)}~\)\( a,b,c,d,e\) の5つの文字から、重複を許して3つの文字を一列に並べる並べ方
\({\small (2)}~\)0 , 1 , 2 , 3 , 4 の5つの数字から、重複を許して3桁の自然数を作る作り方

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【解答】
\({\small (1)}~\)125通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)100通り

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重複を許す順列
今回の順列パターンは重複を許す順列です。今までの順列では一度並べた文字や数字は使えませんでしたが、重複順列では同じ文字や数字を何度でも使えるようになります。

 

2つのグループに分ける

問題9人を以下の方法で分ける場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)A、Bの2部屋に分ける方法(ただし、空室があってもよい)
\({\small (2)}~\)A、Bの2グループに分ける方法
\({\small (3)}~\)2つのグループに分ける方法

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【解答】
\({\small (1)}~\)512通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)510通り\(~~~~~~{\small (3)}~\)255通り

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2つのグループに分ける
グループ分けの場合の数で、2つのグループに分ける方法を解説していきましょう。基本的には重複順列の考え方で解けますが、分けるときに条件があると場合の数が変わってきますので注意が必要です。

 

組合せの記号

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~{}_{5}{\rm C}_{3}$$$${\small (2)}~{}_{7}{\rm C}_{2}$$ $${\small (3)}~{}_{9}{\rm C}_{7}$$$${\small (4)}~{}_{6}{\rm C}_{6}$$$${\small (5)}~{}_{5}{\rm C}_{0}$$

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【解答】$${\small (1)}~10~~~~~~{\small (2)}~21~~~~~~{\small (3)}~36$$$${\small (4)}~1~~~~~~~~{\small (5)}~1$$

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組合せの記号
今回は組合せの記号とその計算方法の解説をしていきます。順列の記号と混合しやすいのでしっかりと区別ができるようになりましょう。

 

順列と組合せ

問題 \(a,b,c,d,e\) の5つの文字がそれぞれ1つずつあるとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)3つの文字を選び一列に並べるときの場合の数
\({\small (2)}~\)3つの文字を選ぶときの場合の数

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【解答】
\({\small (1)}~\)60通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)10通り

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順列と組合せ
今回は順列と組合せについてです。この2つは、それぞれどんなときに使うのかをしっかりと区別し理解して計算できるようになりましょう。

 

図形と組合せ

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)5本の平行線と、それとは別の3本の平行線とが交わってできる平行四辺形の数
\({\small (2)}~\)正八角形について、頂点を結んでできる三角形の個数
\({\small (3)}~\)正八角形について、頂点を結んでできる対角線の本数

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【解答】
\({\small (1)}~\)30個\(~~~~~~{\small (2)}~\)56個\(~~~~~~{\small (3)}~\)20本

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図形と組合せ
組合せの計算を使って図形のでき方の場合の数が何通りあるかを計算するパターンを見ていきます。図形の問題のように見えますが、単純な組合せの問題になるので惑わされずにしっかりと問題文を読み取れるように!

 

代表を選ぶ

問題男子5人、女子4人から代表を3人選ぶ。このとき、次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)すべての選び方
\({\small (2)}~\)男子1人、女子2人となる選び方
\({\small (3)}~\)少なくとも女子1人を選ぶ選び方
\({\small (4)}~\)男子から3人、または女子から3人を選ぶ選び方

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【解答】
\({\small (1)}~\)84通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)30通り
\({\small (3)}~\)74通り\(~~~~~~{\small (4)}~\)14通り

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代表を選ぶ
組合せの記号を使って代表を選ぶときの場合の数を解説していきます。組合せの記号を用いると、大量の樹形図を描くことなく組合せの場合の数を求めることができます。また、様々な条件の付いた場合の数でも「和の法則」と「積の法則」を利用し計算していきましょう。

 

3つのグループに分ける

問題9人を以下の方法で分ける場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)3人ずつA、B、Cの3部屋に分ける
\({\small (2)}~\)3人ずつ3組に分ける
\({\small (3)}~\)4人、3人、2人に分ける

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【解答】
\({\small (1)}~\)1680通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)280通り
\({\small (3)}~\)1260通り

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3つのグループに分ける
今回は3つのグループに分けるのですが、大事なポイントは「2つのグループに分ける」ときと同じです。「グループに区別があるかどうか」を判断して「グループに区別がない」ときは、(グループの数)!で割る計算をしないといけません。ここをしっかりと押さえておきましょう。

 

同じものを含む順列

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( a,a,b,b,b,c,d \) の7つの文字を一列に並べる
\({\small (2)}~\)\( a,a,b,b,c,d,e\) の7つの文字を一列に並べるとき、\( c,d,e\) がこの順になる

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【解答】
\({\small (1)}~\)420通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)210通り

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同じものを含む順列
今回は同じものを含む順列を解説していきます。また、「この順になる」条件もおさえておきましょう。

 

最短経路問題

問題次の図において、次の経路は何通りあるか答えよ。
\({\small (1)}~\)AからBまでの最短経路
\({\small (2)}~\)AからBまでの最短経路でCを必ず通る経路
\({\small (3)}~\)AからBまでの最短経路でDを通らない経路
 

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【解答】
\({\small (1)}~\)126通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)60通り\(~~~~~~{\small (3)}~\)102通り

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最短経路問題
区画に分けられた道路を通って目的地まで行く場合の数を求める問題です。道路を「右に進む」回数と「上に進む」回数を考えて、同じものを含む順列で解く方法をできるようになりましょう!

 

重複組合せ

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)6本の同種類のペンをA、B、Cの3つの袋に入れるとき、1本も入らない袋があってよいとき、分け方は何通りあるか。
\({\small (2)}~\)オレンジ、レモン、ライムがそれぞれ多数ある。これから10個をまとめてセットを作りたい。何通りのセットができるか。

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【解答】
\({\small (1)}~\)28通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)66通り

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重複組合せ
今回の重複組合せを解説していきます。この問題は記号H<を用いて計算するのが一般的ですが、ここではこの記号は使わないで、同じものを含む順列を用いる方法で解いていきます。

 

等式を満たす自然数の組合せ

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす \( 0\) 以上の整数の組合せは何通りあるか答えよ。
\({\small (2)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす自然数の組合せは何通りあるか答えよ。

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【解答】
\({\small (1)}~\)36通り\(~~~~~~{\small (2)}~\)15通り

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等式を満たす自然数の組合せ
今回は前回の重複組合せの応用問題である等式を満たす自然数の組合せを解説していきます。問題が等式となっているだけで、解法は重複組合せと同じになります。

 

確率の基本

問題コインを3枚同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)2枚だけ表である確率
\({\small (2)}~\)表が2枚以上である確率

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【解答】$${\small (1)}~\frac{3}{8}~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{2}$$

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確率の基本
今回からは確率の問題を解説していきます。確率でも計算の基本は「和の法則と積の法則」です!この計算法則は必ず守りましょう。

 

さいころの確率

問題さいころを2個同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)目の和が8となる確率
\({\small (2)}~\)目の和が10以下となる確率

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【解答】$${\small (1)}~\frac{5}{36} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{11}{12}$$

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さいころの確率
2個のさいころを振る確率を解説していきましょう。まずは2個のさいころを区別して表を描くことからはじめて、6×6の36マスの表を使って確率を求めましょう。

 

ボールを取り出す確率

問題赤玉5個と白玉7個が入った袋から同時に3個取り出すとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)白玉3個となる確率
\({\small (2)}~\)赤玉1個、白玉2個となる確率
\({\small (3)}~\)赤玉2個、白玉1個となる確率

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【解答】$${\small (1)}~\frac{7}{44} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{21}{44} ~~~~~~{\small (3)}~\frac{7}{22}$$

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ボールを取り出す確率
今回は色のついたボールを取り出す確率を解説していきます。どんな問題でも確率であれば基本と解法は変わりません。また、ボールを取り出す場合の数は組合せの記号を用いて解きましょう。

 

一列に並べる確率

問題男子5人、女子4人が1列に並ぶとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)特定の男女が隣り合う
\({\small (2)}~\)女子が両端にいる
\({\small (3)}~\)男女が交互に並ぶ

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【解答】$${\small (1)}~\frac{2}{9} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{6} ~~~~~~{\small (3)}~\frac{1}{126}$$

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一列に並べる確率
今回は一列に並べる確率です。一列に並べるのでやはり順列の考え方が重要になってきます。

 

円形に並べる確率

問題男子3人、女子3人が円卓にする座るとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)特定の2人が隣り合う
\({\small (2)}~\)特定の2人が向い合う
\({\small (3)}~\)男女が交互に座る

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【解答】$${\small (1)}~\frac{2}{5} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{5} ~~~~~~{\small (3)}~\frac{1}{10}$$

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円形に並べる確率
円順列を用いた確率の問題を見ていきましょう。一列に並べる確率と同じように、それぞれの場合の数の段階では計算せずに確率を計算するときに約分を活用しましょう。

 

和事象と排反事象

問題1~50までの数字が書かれたカードから、1枚取り出すとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)2の倍数または一の位が3である2桁の数
\({\small (2)}~\)2の倍数または3の倍数

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【解答】$${\small (1)}~\frac{29}{50} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{33}{50}$$

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和事象と排反事象
今回は和事象と排反事象について解説していきます。それぞれの言葉の意味をしっかりと理解しておきましょう。

 

余事象の確率

問題次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)赤玉5個と白玉7個が入った袋から同時に3個取り出すとき、少なくとも赤玉1個を取り出す確率を求めよ。
\({\small (2)}~\)さいころを2個同時に投げるとき、目の和が3の倍数でない確率を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~\frac{37}{44} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{2}{3}$$

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余事象の確率
今回の余事象について解説していきます。この余事象が使えると非常に計算が簡単になるので、どのようなときに使うかを理解しましょう。

 

独立試行の確率

問題Aの袋には赤玉3個と白玉2個が、Bの袋には赤玉2個と白玉4個が入っている。Aからは1個、Bからは2個の玉を取り出すとき、取り出した玉の色がすべて赤となる確率を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$$~~~~~~\frac{1}{25}$$

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独立試行の確率
今回は独立試行について説明します。どのような試行かを理解して、解けるようになりましょう。

 

反復試行の確率①(コイン)

問題1枚のコインを5回連続して投げるとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)表がちょうど4回出る
\({\small (2)}~\)表がちょうど3回出る

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【解答】$${\small (1)}~\frac{5}{32} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{5}{16}$$

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反復試行の確率①(コイン)
今回は同じ試行を繰り返す反復試行の確率を説明します。定期テストだけでなく、入試問題にも頻出ですので練習してできるようになりましょう!

 

反復試行の確率②(さいころ)

問題1個のさいころを5回連続して投げるとき、次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)3の倍数の目が2回だけ出る
\({\small (2)}~\)3の倍数の目が3回だけ出る
\({\small (3)}~\)少なくとも1回3の倍数の目が出る

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~\frac{80}{243} ~~~~~~{\small (2)}~\frac{40}{243} ~~~~~~{\small (3)}~\frac{211}{243}$$

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反復試行の確率②(さいころ)
今回はさいころを複数回振るときの反復試行の確率を解説していきます。反復試行の基本は前回と同じになります。

 

○勝先取の確率

問題AとBが試合をし、先に3勝した方が優勝とする。Aが勝つ確率が \( {\Large \frac{3}{4}} \) のとき、Aが優勝する確率を求めよ。

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【解答】$$~~~~~~\frac{459}{512}$$

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◯勝先取の確率
プロ野球の日本シリーズは先に4勝したチームが優勝となるルールが採用されています。このような◯勝先取の確率の求め方を解説していきます。ポイントは「最後の試合は優勝チームが必ず勝つ」です。

 

点が動く確率

問題数直線上に点Pが原点にあり、さいころを投げて5以上の目が出ると正の方向に2進み、それ以外が出ると負の方向に1進む。さいころを3回投げたとき点Pが次の位置にある確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)原点の位置にある
\({\small (2)}~\)座標3の位置にある

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【解答】$${\small (1)}~\frac{4}{9}~~~~~~{\small (2)}~\frac{2}{9}$$

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点が動く確率
さいころを振り出た目によって点が数直線上を動く確率を解説していきます。複数回さいころを振ることになるので反復試行の確率となります。また、点が最後にどこでストップするかが重要となります。

 

条件付き確率

問題ある学校で数学が好きな生徒は40%で、英語が好きな生徒は60%で、両方好きな生徒は30%である。次の確率を求めよ。
\({\small (1)}~\)ある生徒が数学を好きとわかっていて、その生徒が英語も好きな確率
\({\small (2)}~\)ある生徒が英語を好きとわかっていて、その生徒が数学も好きな確率

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【解答】$${\small (1)}~\frac{3}{4}~~~~~~{\small (2)}~\frac{1}{2}$$

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条件付き確率
今回は条件付き確率について解説していきます。問題文を読む取るのが少々難しいですが、読み取れたら式を立てるのは簡単ですので「問題文の読み取り方」を学んでいきましょう!

 

確率の乗法定理

問題10本中当たりが3本入ったくじがある。このくじをAが1本引き、引いたくじを元に戻さずに続けてBが引いた。このとき、AとBのそれぞれが当たる確率を求めよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$$~~~~~~\frac{3}{10}$$

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確率の乗法定理
条件付き確率の式を用いて、共通部分の確率を計算する方法を解説していきます。この計算方法を確率の乗法定理といいます。今回の問題をそのまま覚えておきましょう。