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等式を満たす自然数の組合せ

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今回の問題は「等式を満たす自然数の組合せ」です。

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす \( 0\) 以上の整数の組合せは何通りあるか答えよ。
\({\small (2)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす自然数の組合せは何通りあるか答えよ。

 

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問題解説:等式を満たす自然数の組合せ

問題解説(1)

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす \( 0\) 以上の整数の組合せは何通りあるか答えよ。

整数 \( 7\) を「◯」7つとします。また、\( x~,~y~,~z\) の3種類に分けるので、仕切り「 | 」を2つの合計9つのものの順列を考える。
例えば

このとき、 \( x=2~,~y=3~,~z=2\) となります。
また、

このとき、 \( x=4~,~y=0~,~z=3\) となります。
 
これらより、問題を考えると「◯」が7つと仕切り「 | 」が2つの合計9つのものの同じものを含む順列として計算すると、$$~~~~~~\frac{9!}{7!\cdot 2!}$$$$~=\frac{9\cdot 8}{2\cdot 1}$$$$~=36$$よって、答えは \(36\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の場合の数を求めよ。
\({\small (2)}~\)\( x+y+z=7\) を満たす自然数の組合せは何通りあるか答えよ。

(1)と違い条件が自然数となっています。これより \( x~,~y~,~z\) はそれぞれ少なくとも \( 1\) にはなります。
(1)と同じ考え方をすると、 \( x~,~y~,~z\) は初めからそれぞれ「◯」を1つずつ割り当てられている考えればよいです。
 
例えば、

このとき、\( x=4~,~y=1~,~z=2\) となります。
 
よって、割り当てられた「◯」3つ以外の残りの「◯」4つと、仕切り「 | 」2つの6つのものの同じものを含む順列として計算すると、$$~~~~~~\frac{6!}{4!\cdot 2!}$$$$~=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}$$$$~=15$$よって、答えは \(15\) となります。

 

今回のまとめ

等式を満たす自然数の組合せはその文字の条件によって解法が変わってきます。それぞれのパターンと処理方法を覚えておきましょう。

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