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【問題一覧】数学Ⅲ:微分法

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このページは「高校数学Ⅲ:微分法」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅲ:微分法

微分法の基本性質

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=x^5-2x^4+5x^3$$$${\small (2)}~y=(x^2+1)(3x-2)$$$${\small (3)}~y=\frac{x^2}{x-1}$$$${\small (4)}~y=(2x-3)^3$$$${\small (5)}~y=\frac{1}{(2x-3)^2}$$

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【解答】$${\small (1)}~y’=5x^4-8x^3+15x^2$$$${\small (2)}~y’=9x^2-4x+3$$$${\small (3)}~y’=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$$${\small (4)}~y’=6(2x-3)^2$$$${\small (5)}~y’=-\frac{4}{(2x-3)^3}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

微分法の基本性質
今回は積の微分法、商の微分法や合成関数の微分法などの微分法の基本について解説していきます。それぞれの解法をしっかりと押さえておきましょう。

 

無理関数と分数関数の微分

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=x^{{\large \frac{2}{3}}}$$$${\small (2)}~y=\sqrt[{\large 3}]{x^5}$$$${\small (3)}~y=\frac{1}{x\sqrt{x}}$$$${\small (4)}~y=\sqrt{2x^2-3x}$$$${\small (5)}~y=\frac{1}{\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=\frac{2}{3}x^{-{\large \frac{1}{3}}}$$$${\small (2)}~y’=\frac{5}{3}\sqrt[{\large 3}]{x^2}$$$${\small (3)}~y’=-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$$$${\small (4)}~y’=\frac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x}}$$$${\small (5)}~y′=-\frac{2x}{3(x^2-1)\sqrt[{\large 3}]{x^2-1}}$$

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無理関数と分数関数の微分
今回は無理関数や分数関数の微分について解説していきます。まずは  n 次関数の形に式変形をして微分していきましょう。

 

曲線の方程式の微分

問題次の方程式より、\({\Large \frac{dy}{dx}}\) を \(x~,~y\) を用いて表せ。$${\small (1)}~xy=3$$$${\small (2)}~x^2+y^2=9$$$${\small (3)}~25x^2-4y^2=9$$
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【解答】$${\small (1)}~\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$$$${\small (2)}~\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$$${\small (3)}~\frac{dy}{dx}=\frac{25x}{4y}$$

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曲線の方程式の微分
円の方程式などの曲線の方程式の微分について解説していきます。両辺を微分する解法を覚えておきましょう。

 

媒介変数表示の微分

問題媒介変数表示された次の関数について、\({\Large \frac{dy}{dx}}\) を \(t\) を用いて表せ。$${\small (1)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x=t+2 \\ ~y=2t^2-3t\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x=\sqrt{t-1} \\ ~y=(3t-1)^2 \end{eqnarray}$$
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【解答】$${\small (1)}~\frac{dy}{dx}=4t-3$$$${\small (2)}~\frac{dy}{dx}=12(3t-1)\sqrt{t-1}$$

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媒介変数表示と微分
媒介変数表示された関数の微分について解説していきます。微分の手順と式を押さえておきましょう。

 

三角関数の微分

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=\sin{3x}$$$${\small (2)}~y=\cos{(2x+1)}$$$${\small (3)}~y=\sin^3{x}$$$${\small (4)}~y=\frac{1}{\tan{2x}}$$$${\small (5)}~y=\sin{2x}\cos{2x}$$$${\small (6)}~y=x^2\cos{3x}$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=3\cos{3x}$$$${\small (2)}~y’=-2\sin{(2x+1)}$$$${\small (3)}~y’=3\sin^2{x} \cos{x}$$$${\small (4)}~y’=-\frac{2}{\sin^2{2x}}$$$${\small (5)}~y’=2\cos^2{2x}-2\sin^2{2x}$$$$~~~~\to~y’=2\cos{4x}$$$${\small (6)}~y’=2x\cos{3x}-3x^2\sin{3x}$$

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三角関数の微分
三角関数の微分について解説していきます。公式を覚えるとき合成関数として覚えておきましょう。

 

対数関数の微分

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=\log (2x+1)$$$${\small (2)}~y=(\log x)^3$$$${\small (3)}~y=\log_{10} |3x-1|$$$${\small (4)}~y=x^2\log x$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=\frac{2}{2x+1}$$$${\small (2)}~y’=\frac{3(\log x)^2}{x}$$$${\small (3)}~y’=\frac{3}{(3x-1)\log 10}$$$${\small (4)}~y’=x(2\log x +1)$$

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対数関数の微分
対数関数の微分について解説していきます。底の値によって公式が違いますのでそれぞれ覚えておきましょう。

 

対数微分法

問題次の関数を対数微分法で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^x~~~(x>0)$$$${\small (2)}~y=\frac{2x+3}{(x+1)^2}$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=x^x(\log x+1)$$$${\small (2)}~y’=-\frac{2(x+1)}{(x+1)^3}$$

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対数微分法
今回は対数微分法という特殊な微分について解説していきます。解法の手順をしっかりと押さえておきましょう。

 

指数関数の微分

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=e^{2x-1}$$$${\small (2)}~y=5^{2x}$$$${\small (3)}~y=(2x-1)e^x$$$${\small (4)}~y=e^{x^2}$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=2e^{2x-1}$$$${\small (2)}~y’=2 \cdot 5^{2x}\log 5$$$${\small (3)}~y’=e^x(2x+1)$$$${\small (4)}~y’=2xe^{x^2}$$

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指数関数の微分
今回は指数関数の微分について解説していきます。底の値によって公式が違いますのでそれぞれ覚えておきましょう。