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対数微分法

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今回の問題は「対数微分法」です。

問題次の関数を対数微分法で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^x~~~(x>0)$$$${\small (2)}~y=\frac{2x+3}{(x+1)^2}$$

 

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対数微分法の解法

Point:対数微分法解法の手順は、
① 与えられた関数の両辺に絶対値付けます。もし、正の値ならばそのままで計算します。
② 両辺の自然対数をとります。
対数関数の法則を利用して、微分しやすいように式変形します。
④ 両辺を \(x\) で微分します。
このとき、\(y\) は \(x\) の関数であるので次の微分を利用します。

$$(\log |y|)’=\frac{y’}{y}$$

⑤ 答えを求めるときは、\(y\) を移項して与えられた関数を代入します。

 

問題解説:対数微分法

問題解説(1)

問題次の関数を対数微分法で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^x~~~(x>0)$$

$$\hspace{ 10 pt}y=x^x$$\(x>0\) より、\(x^x>0\) となり \(y>0\) となります。したがって、両辺の自然対数をとると、$$\hspace{ 10 pt}\log y=\log x^x$$$$\hspace{ 10 pt}\log y=x\log x$$両辺を \(x\) で微分すると、積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{y’}{y}=(x)’\log x+x(\log x)’$$$$\hspace{ 25 pt}=1\cdot \log x+x \cdot \frac{1}{x}$$$$\hspace{ 25 pt}=\log x + 1$$ここで、左辺の分母の \(y\) を移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=(\log x+1)\times y$$問題の \(y=x^x\) を代入すると、$$\hspace{ 21 pt}=(\log x+1)\times x^x$$$$\hspace{ 21 pt}=x^x(\log x+1)$$よって、答えは$$~~~y’=x^x(\log x+1)$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数を対数微分法で微分せよ。$${\small (2)}~y=\frac{2x+3}{(x+1)^2}$$

$$\hspace{ 10 pt}y=\frac{2x+3}{(x+1)^2}$$両辺に絶対値を付けると、$$\hspace{ 10 pt}|y|=\left| \frac{2x+3}{(x+1)^2} \right|$$両辺の自然対数をとると、$$\hspace{ 10 pt}\log |y|=\log \left| \frac{2x+3}{(x+1)^2} \right|$$$$\hspace{ 38 pt}=\log |2x+3| – \log |(x+1)^2|$$$$\hspace{ 38 pt}=\log |2x+3|-2 \log |x+1|$$両辺を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{y’}{y}=\frac{(2x+3)’}{2x+3}-2\frac{(x+1)’}{x+1}$$$$\hspace{ 25 pt}=\frac{2}{2x+3}-\frac{2}{x+1}$$$$\hspace{ 25 pt}=\frac{2(x+1)-2(2x+3)}{(2x+3)(x+1)}$$$$\hspace{ 25 pt}=\frac{2x+2-4x-6}{(2x+3)(x+1)}$$$$\hspace{ 25 pt}=\frac{-2x-4}{(2x+3)(x+1)}$$$$\hspace{ 25 pt}=\frac{-2(x+2)}{(2x+3)(x+1)}$$ここで、左辺の分母の \(y\) を移項すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-\frac{2(x+2)}{(2x+3)(x+1)}\times y$$問題の \(y={\Large \frac{2x+3}{(x+1)^2}}\) を代入すると、$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2(x+2)}{(2x+3)(x+1)}\times \frac{2x+3}{(x+1)^2}$$$$\hspace{ 21 pt}=-\frac{2(x+2)}{(x+1)^3}$$よって、答えは$$~~~y’=-\frac{2(x+1)}{(x+1)^3}$$となります。

 

今回のまとめ

対数微分法はその解法の手順と、対数関数の微分の公式をしっかりと覚えておきましょう。

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