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指数関数の微分

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今回の問題は「指数関数の微分」です。

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=e^{2x-1}$$$${\small (2)}~y=5^{2x}$$$${\small (3)}~y=(2x-1)e^x$$$${\small (4)}~y=e^{x^2}$$

 

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指数関数の微分の解法

Point:指数関数の微分\(t\) が \(x\) の関数のとき、

$$~{\large ①}~(e^t)’=e^t\cdot t’$$$$~{\large ②}~(a^t)’=a^t \cdot \log a \cdot t’$$

それぞれ合成関数の微分をかけるのを忘れないようにしましょう。

 

問題解説:指数関数の微分

問題解説(1)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (1)}~y=e^{2x-1}$$

$$\hspace{ 10 pt}y=e^{2x-1}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=e^{2x-1} \cdot (2x-1)’$$$$\hspace{ 21 pt}=e^{2x-1} \cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=2e^{2x-1}$$よって、答えは$$~~~y’=2e^{2x-1}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (2)}~y=5^{2x}$$

$$\hspace{ 10 pt}y=5^{2x}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=5^{2x} \cdot \log 5 \cdot (2x)’$$$$\hspace{ 21 pt}=5^{2x}\log 5 \cdot 2$$$$\hspace{ 21 pt}=2 \cdot 5^{2x}\log 5$$よって、答えは$$~~~y’=2 \cdot 5^{2x}\log 5$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (3)}~y=(2x-1)e^x$$

$$\hspace{ 10 pt}y=(2x-1)e^x$$\(x\) について微分すると、積の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=(2x-1)’ \cdot e^x+(2x-1) \cdot (e^x)’$$合成関数の微分より、$$\hspace{ 21 pt}=2 \cdot e^x+(2x-1) \cdot e^x$$$$\hspace{ 21 pt}=e^x \{ 2+(2x-1) \}$$$$\hspace{ 21 pt}=e^x (2+2x-1)$$$$\hspace{ 21 pt}=e^x(2x+1)$$よって、答えは$$~~~y’=e^x(2x+1)$$となります。

 

問題解説(4)

問題次の関数を微分せよ。$${\small (4)}~y=e^{x^2}$$

$$\hspace{ 10 pt}y=e^{x^2}$$\(x\) について微分すると、合成関数の微分より、$$\hspace{ 10 pt}y’=e^{x^2} \cdot (x^2)’$$$$\hspace{ 21 pt}=e^{x^2} \cdot 2x$$$$\hspace{ 21 pt}=2xe^{x^2}$$よって、答えは$$~~~y’=2xe^{x^2}$$となります。

 

今回のまとめ

指数関数の微分は底の値で公式を選択しましょう。また、合成関数の微分や積の微分も利用していきましょう。

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