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【問題一覧】数学A:図形の性質

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このページは「高校数学A:図形の性質」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。
数学A:図形の性質の公式一覧はこちらから↓

【公式一覧】数学A:図形の性質
このページは「高校数学A:図形の性質」の公式や解法の手順をまとめたページとなります。目次の単元...

 

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【問題一覧】数学A:図形の性質

内分点と外分点の位置

問題数直線上に次の点を図示せよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に内分する点 \({\rm P}\)
\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \({\rm Q}\)
\({\small (3)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(1:3\) に外分する点 \({\rm R}\)

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内分点と外分点の位置
今回は数直線上の内分点と外分点の位置について解説していきます。線分の並びと内分外分の順番に注意して解いていきましょう。

 

中点連結定理と平行線と比

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の台形 \({\rm ABCD}\) が \({\rm AB}\parallel{\rm DC}\) \(,\) \({\rm AB}=13\) \(,\) \({\rm CD}=7\) であり、点 \({\rm E~,~F}\) がそれぞれ \({\rm AD~,~BC}\) の中点とし、\({\rm AB}\parallel{\rm EF}\) であるとき、\({\rm EF}\) の長さを求めよ。

\({\small (2)}\) 次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm BC}\parallel{\rm DE}\) \(,\) \({\rm AD}=3\) \(,\) \({\rm DB}=2\) \(,\) \({\rm AE}=2\) \(,\) \({\rm BC}=6\) のとき、\({\rm EC}\) と \({\rm DE}\) の長さを求めよ。

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【解答】$${\small (1)}~{\rm EF}=10$$$${\small (2)}~{\rm EC}=\frac{4}{3}~,~{\rm DE}=\frac{18}{5}$$

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中点連結定理と平行線と比
今回は中点連結定理と平行線と比の関係について解説していきます。それぞれの公式をしっかりと覚えておきましょう。

 

角の二等分線と比

問題次の図で、\(\angle{\rm C}=90^\circ\) \(,\) \({\rm AB}=5\) \(,\) \({\rm AC}=3\) で \(\angle{\rm A}\) の内角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\)、\(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm E}\) とするとき、\({\rm DE}\) の長さを求めよ。

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【解答】$$~~~{\rm DE}=\frac{15}{2}$$

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角の二等分線と比
今回は角の二等分線と比の関係について解説していきます。内角のときと外角のときの公式をそれぞれしっかりと覚えておきましょう。

 

三角形の外心

問題次の図で、\(\triangle {\rm ABC}\) とその外心 \({\rm O}\) について、\(\angle{\rm A}=80^\circ\) のとき、次の角を求めよ。
$${\small (1)}~\angle{\rm BOC}$$$${\small (2)}~\angle{\rm OCB}$$

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【解答】$${\small (1)}~\angle{\rm BOC}=160^\circ$$$${\small (2)}~\angle{\rm OCB}=10^\circ$$

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三角形の外心
三角形の五心の1つである外心について解説していきます。外接円の性質についてもあわせて覚えておきましょう。

 

三角形の内心

問題次の図で \(\triangle {\rm ABC}\) とその内心 \({\rm I}\) について、この内接円の直線 \({\rm AB}\) との接点を \({\rm S}\)、直線 \({\rm AC}\) との接点を \({\rm T}\) として、\(\angle{\rm A}=80^\circ\) のとき、次の角を求めよ。
$${\small (1)}~\angle{\rm BIC}$$$${\small (2)}~\angle{\rm AST}$$$${\small (3)}~\angle{\rm SIT}$$

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【解答】$${\small (1)}~\angle{\rm BIC}=130^\circ$$$${\small (2)}~ \angle{\rm AST}=50^\circ$$$${\small (1)}~\angle{\rm SIT}=100^\circ$$

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三角形の内心
三角形の五心の1つである内心について解説していきます。内接円の性質についてもあわせて覚えておきましょう。

 

三角形の垂心

問題次の図で \(\angle{\rm A}=40^\circ\) である鋭角三角形 \({\rm ABC}\) の垂心を \({\rm H}\) とするとき、\(\angle{\rm BHC}\) の値を求めよ。

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【解答】$$~~~\angle{\rm BHC}=140^\circ$$

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三角形の垂心
三角形の五心の1つである垂心について解説していきます。直角になる位置を確認し、直角三角形の内角の和を利用して解いていきましょう。

 

三角形の重心

問題次の図で、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、直線 \({\rm AG}\) と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) とするとき、次の比の値を求めよ。$$~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$

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【解答】$$~~~~~~\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm ABD}:\triangle {\rm ABG}:\triangle {\rm GBD}$$$$~=6:3:2:1$$

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三角形の重心
三角形の五心の1つである重心について解説していきます。重心の位置と中点を \(2:1\) に内分することを利用して解きましょう。

 

チェバの定理

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm AP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、\({\rm BQ}:{\rm QC}\) の比を求めよ。

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【解答】$$~~~{\rm BQ}:{\rm QC}=6:1$$

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チェバの定理
今回はチェバの定理について解説していきます。公式をそのまま覚えるのではなく、立式の仕方をおさえておきましょう。

 

メネラウスの定理

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、\({\rm AB}={\rm BC}={\rm CA}=5\) \(,\) \({\rm BP}=2\) \(,\) \({\rm AR}=4\) のとき、次の比を求めよ。
$${\small (1)}~ {\rm BQ}:{\rm QC}$$$${\small (2)}~ {\rm PQ}:{\rm QR}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\rm BQ}:{\rm QC}=8:7$$$${\small (2)}~{\rm PQ}:{\rm QR}=2:1$$

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メネラウスの定理
今回はメネラウスの定理について解説していきます。チェバの定理と同様に着目する三角形を決めて考えましょう。

 

三角形の辺と角の大小関係

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(a=8\) \(,\) \(b=6\) \(,\) \(c=3\) のとき、3つの角の大小を調べよ。
\({\small (2)}\) \(\angle{\rm A}=110^\circ\) \(,\) \(b=4\) \(,\) \(c=10\) のとき、3つの角の大小を調べよ。
\({\small (3)}\) \(\angle{\rm A}=80^\circ\) \(,\) \(\angle{\rm B}=30^\circ\) のとき、3つの辺の大小を調べよ。

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【解答】$${\small (1)}~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm B}>{\small\angle}{\rm C}$$$${\small (2)}~{\small\angle}{\rm A}>{\small\angle}{\rm C}>{\small\angle}{\rm B}$$$${\small (3)}~a>c>b$$

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三角形の辺と角の大小関係
今回は三角形の辺と角の大小関係について解説していきます。最大辺と最大角の対応をおさえておきましょう。

 

三角形になるための条件

問題次の3つの値を3辺の長さとする三角形が存在するための \(x\) の値の範囲を求めよ。$${\small (1)}~x~,~2~,~5$$$${\small (2)}~x~,~2x~,~3$$

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【解答】$${\small (1)}~3<x<7$$$${\small (2)}~1<x<3$$

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三角形になるための条件
今回は与えれれた3つの辺で三角形がつくれるかどうかの問題を解説していきます。3つの辺より3つの条件式を作りましょう。

 

円周角と中心角

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の図の角度 \(x~,~y\) の値を求めよ。
\({\large ①}\)

\({\large ②}\)

\({\large ③}\)

\({\small (2)}\) 円 \({\rm O}\) の円上に3点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) をとり、次の比が成り立つとき、$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$\(\angle{\rm ACB}\) \(,\) \(\angle{\rm BAC}\) \(,\) \(\angle{\rm ABC}\) の値を求めよ。

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【解答】$${\small (1)}$$$$~{\large ①}~x=40^\circ~,~y=80^\circ$$$$~{\large ②}~x=44^\circ~,~y=66^\circ$$$$~{\large ③}~x=130^\circ$$$${\small (2)}~\angle{\rm ABC}=75^\circ~,~\angle{\rm ACB}=45^\circ$$$$~~~\angle{\rm BAC}=60^\circ$$

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円周角と中心角
今回は円周角と中心角について解説していきます。通常の円周角と中心角の関係だけでなく、弧の長さの比と円周角の値についてもおさえておきましょう。

 

円に内接する四角形と角

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の図の角度 \(x~,~y\) の値を求めよ。
\({\large ①}\)

\({\large ②}\)

\({\small (2)}\) 次の四角形の中で円に内接するかどうか調べよ。
\({\large ①}\)

\({\large ②}\)

\({\large ③}\)

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【解答】$${\small (1)}$$$$~{\large ①}~x=87^\circ~,~y=120^\circ$$$$~{\large ②}~x=80^\circ$$$${\small (2)}$$②、③が円に内接する四角形である。

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円に内接する四角形と角
今回は円に内接する四角形の角の条件について解説していきます。対角の和が 180° になる条件と、それを用いて円に内接することを示す問題を見ていきましょう。

 

接弦定理

問題次の角度 \(x~,~y\) の値を求めよ。
\({\small (1)}\)

\({\small (2)}\)

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【解答】$${\small (1)}~x=20^\circ~,~y=80^\circ$$$${\small (2)}~x=62^\circ~,~y=45^\circ$$

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接弦定理
角の値の定理である接弦定理について解説していきます。三角形と内接円、その頂点での接線があるときこの定理を用いて解いていきましょう。

 

内接円と接線の条件

問題次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) とその内接円、接点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) について、以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \({\rm BC}\) の長さを求めよ。

\({\small (2)}\) 内接円の半径 \(r\) を求めよ。

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【解答】$${\small (1)}~{\rm BC}=5$$$${\small (2)}~r=3$$

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内接円と接線の条件
内接円と接線の条件を用いる問題について解説していきます。どの線分が等しくなっていくかを確認していきましょう。

 

方べきの定理

問題次の図において、\(x\) の値を求めよ。
\({\small (1)}\)

\({\small (2)}\)

\({\small (3)}\)

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【解答】$${\small (1)}~x=2$$$${\small (2)}~x=3$$$${\small (3)}~x=2$$

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方べきの定理
今回は方べきの定理について解説していきます。公式をそのまま覚えていても解けない事があるので、その使い方もあわせて覚えておきましょう。

 

2つの円の位置関係と共通接線

問題半径 \(3\) の円と、半径 \(7\) の円について、2円の中心間の距離を \(d\) とし、それが以下の値を取るとき、2円の位置関係と共通接線の本数を答えよ。$${\small (1)}~d=2$$$${\small (2)}~d=10$$$${\small (3)}~d=14$$$${\small (4)}~d=8$$$${\small (5)}~d=4$$

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【解答】
\({\small (1)}\) 半径 \(3\) の円が半径 \(7\) の円の内部にあり、共通接線は0本となります。
\({\small (2)}\) 半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は外接しており、共通接線は3本となります。
\({\small (3)}\) 半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は離れており、共通接線は4本となります。
\({\small (4)}\) 半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は2点で交わり、共通接線は2本となります。
\({\small (5)}\) 半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は内接しており、共通接線は1本となります。

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2つの円の位置関係と共通接線
2つの円の位置関係と共通接線の本数について解説していきます。位置関係については2つの円の半径の和と差を計算し、中心間の距離と比較して調べましょう。

 

共通接線の長さ

問題次の図について、半径 \(5\) の円と半径 \(3\) の円とその2円の中心間の距離が \(12\) のとき、以下の値を求めよ。
\({\small (1)}\) 共通接線 \({\rm AB}\) の線分の長さ

\({\small (2)}\) 共通接線 \({\rm CD}\) の線分の長さ

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【解答】$${\small (1)}~{\rm AB}=2\sqrt{35}$$$${\small (2)}~{\rm CD}=4\sqrt{5}$$

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共通接線の長さ
今回は共通接線を用いた計算問題について解説していきます。共通接線の線分を平行移動して三平方の定理を用いることを覚えておきましょう。

 

作図の基本

問題次の図形を作図せよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線
\({\small (2)}\) 角 \(\angle{\rm AOB}\) の二等分線
\({\small (3)}\) 点 \({\rm A}\) を通り、直線に垂直な直線
\({\small (4)}\) 点 \({\rm A}\) を通り、直線に平行な直線

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作図の基本
作図の基本について解説していきます。今回の4つのパターンは他の作図の基礎にもなる重要なものです。しっかりとおさえておきましょう。

 

内分点と外分点の作図

問題次の図形を作図せよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(1:3\) に内分する点
\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AB}\) を \(3:1\) に外分する点

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内分点と外分点の作図
今回は内分点と外分点の作図について解説していきます。比を用いる方法をおさえておきましょう。

 

分数倍の作図

問題\({\rm AB}\) の長さが \(1\) のとき、\({\rm AP}={\large \frac{3}{2}}\) となるような点 \({\rm P}\) を作図せよ。

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分数倍の作図
与えられた線分を分数倍した線分を作図する方法を解説していきます。分母と分子の値から作図していきましょう。

 

平方根の値の作図

問題長さ \(1\) が与えられたとき、長さ \(\sqrt{3}\) の作図をせよ。

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平方根の値の作図
平方根の値の作図を解説していきます。前回の分数倍の作図と同様に特殊な手順を覚えておきましょう。

 

空間図形の位置関係

問題直方体 \({\rm ABCD-EFGH}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 線分 \({\rm AB}\) に平行な辺
\({\small (2)}\) 線分 \({\rm AG}\) とねじれの位置にある辺
\({\small (3)}\) 線分 \({\rm AB}\) と垂直な辺と面
\({\small (4)}\) 面 \({\rm ABCD}\) と平行な辺と面

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【解答】
\({\small (1)}\)
 辺 \({\rm DC}\) \(,\) \({\rm EF}\) \(,\) \({\rm HG}\)
\({\small (2)}\)
 辺 \({\rm BC}\) \(,\) \({\rm DC}\) \(,\) \({\rm EF}\) \(,\) \({\rm EH}\)
\({\small (3)}\)
 辺 \({\rm AD}\) \(,\) \({\rm AE}\) \(,\) \({\rm BC}\) \(,\) \({\rm BF}\)
 面 \({\rm AEHD}\) \(,\) \({\rm BFGC}\)
\({\small (4)}\)
 辺 \({\rm EF}\) \(,\) \({\rm GH}\) \(,\) \({\rm EH}\) \(,\) \({\rm FG}\)
 面 \({\rm EFGH}\)

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空間図形の位置関係
空間図形における位置関係の問題について解説していきます。辺と面との平行や垂直も判断できるようになりましょう。