このページは「高校数学A:図形の性質」の公式や解法の手順をまとめたページとなります。
目次の単元をクリックすると各単元に飛べますので活用してください。また、問題と詳しい解説のリンクもありますので公式の使い方を詳しく知りたいときにそちらも参考にしましょう。
教科書より詳しい高校数学「よりくわ」の公式Line@アカウントです。キーワードを入力するとサイトのURLや公式の画像などを検索できますので、友達登録よろしくお願いします!
【公式一覧】数学A:図形の性質
内分点と外分点の位置
線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に内分する点 \({\rm P}\)
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4301_2.png)
図のように \({\rm A}~\to~{\rm B}\) を \(m\) と \(n\) に分けて進んだと考えましょう。
・外分点
線分 \({\rm AB}\) を \(m:n\) に外分する点 \({\rm Q}\)
( ⅰ ) \(m>n\) のとき、
\({\rm A}~\to~{\rm B}\) を \(m\) 進んで \(n\) 戻ると考えて、
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4301_3.png)
( ⅱ ) \(m<n\) のとき、
\({\rm A}~\to~{\rm B}\) を \(m\) 戻り \(n\) 進むと考えて、
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4301_4.png)
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/A22FE53E-0A5E-4DD0-8CB9-13B6D479ECFF.jpeg)
中点連結定理と平行線と比
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4302_3.png)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \({\rm AB}\) \(,\) \({\rm AC}\) のそれぞれの中点を \({\rm M~,~N}\) において、
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/9F8D7ACF-A715-44DB-BCE1-2DCFDCD5E4F4.jpeg)
角の二等分線と比
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4303_2.png)
「\({\rm A \to B}\) と \({\rm B \to D}\) の比」と
「\({\rm A \to C}\) と \({\rm C \to D}\) の比」と覚えましょう。
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\angle{\rm A}\) の外角の二等分線と直線 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm E}\) とすると、
「\({\rm A \to B}\) と \({\rm B \to E}\) の比」と
「\({\rm A \to C}\) と \({\rm C \to E}\) の比」と覚えましょう。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/D72DE6AE-536F-46D1-AF27-C3E939F73204.jpeg)
三角形の外心
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4304_2.png)
このときの交点 \({\rm O}\) を中心とする円を \(\triangle {\rm ABC}\) の外接円といい、点 \({\rm O}\) を外心という。
・外心についての性質
( ⅰ ) 円周角と中心角の定理が成り立つ
( ⅱ ) 外心 \({\rm O}\) から頂点に引いた線分は半径となるので、
これより、\(\triangle {\rm OBC}\) は二等辺三角形となります。よって、底角が等しくなるので、
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/FF4FA783-79A4-4BC4-ABCC-EA3786602063.jpeg)
三角形の内心
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4305_2.png)
このとき、交点 \({\rm I}\) を中心とすれ円を \(\triangle {\rm ABC}\) の内接円といい、点 \({\rm I}\) を内心という。
・内心についての性質
( ⅰ ) 角の二等分線
頂点から内心 \({\rm I}\) に引いた線は角の二等分線となるので、
が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。
( ⅱ ) 円と接線の性質
図のように接点を \({\rm S},{\rm T}\) とすると、
円と接線の性質より、
が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/F763798E-018F-4C29-A3F1-92A65F35E1BA.jpeg)
三角形の垂心
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4306_2.png)
このとき、交点 \({\rm H}\) を三角形の垂心といいます。
また、垂線を3本引くので \(\triangle {\rm ABC}\) の内部で複数の直角三角形ができます。これらを用いて問題を解きましょう。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/6E93EFF6-BD01-4A64-BBDD-ED80C769E00B.jpeg)
三角形の重心
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4307_2.png)
このときの交点 \({\rm G}\) を三角形の重心といいます。
\({\rm L}\) \(,\) \({\rm M}\) \(,\) \({\rm N}\) を各辺の中点とすると、
また、定理より、
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/957650D3-76E3-4F4F-ADF6-4A0A87B1DA71.jpeg)
チェバの定理
① 着目する三角形を決めます。
次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) に着目する。
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4308_2.png)
② 頂点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) と交点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$③ チェバの定理より式を立てます。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/249C6EDB-318D-4CE5-859A-1AAF92F41B5B.jpeg)
メネラウスの定理
① 着目する三角形を決めます。
次の図の \(\triangle {\rm ABC}\) に着目する。
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4309_2.png)
ここで着目する三角形が変わると、違う式が得られます。
② 頂点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm C}\) と交点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm Q}\) \(,\) \({\rm R}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm A}~\to~{\rm P}~\to~{\rm B}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm C}~\to~{\rm R}~\to~{\rm A}$$③ メネラウスの定理より式を立てます。
① 着目する三角形を \(\triangle {\rm PBQ}\) とする。
② 頂点 \({\rm P}\) \(,\) \({\rm B}\) \(,\) \({\rm Q}\) と交点 \({\rm A}\) \(,\) \({\rm R}\) \(,\) \({\rm C}\) を確認して、頂点→交点→頂点→…と進んでいくルートを決めます。$$~~~{\rm P}~\to~{\rm A}~\to~{\rm B}~\to~{\rm C}~\to~{\rm Q}~\to~{\rm R}~\to~{\rm P}$$③ メネラウスの定理より式を立てます。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/BB5B7ACB-2C05-4054-A197-1920BA264418.jpeg)
三角形の辺と角の大小関係
① 大きい辺に向かい合う角は、小さい辺に向かい合う角より大きい。
② 大きい角に向かい合う辺は、小さい角に向かい合う辺より大きい。
これらをまとめると、三角形の辺とそれに対する角の大小関係は一致します。
例えば、
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/C64AA4F0-D029-4C95-81B8-D9B917EA0A63.jpeg)
三角形になるための条件
2辺の和が他の1辺より大きくなるので、
これらがすべて成り立ちます。
逆に、3つの値が3辺の長さとなる三角形となるためには、上のの3つの式がすべて成り立つ必要があります。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/53FEA8AC-C9D7-4947-B378-0D9B3216C81F.jpeg)
円周角と中心角
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4312_4.png)
上の図で弧 \({\rm AB}\) と弧 \({\rm CD}\) が等しいとき、
(2) 円周角は中心角の半分である
上の図で、
(3) 弧の長さが等しい \(~\Leftrightarrow~\) 中心角が等しい
上の図で弧 \({\rm AB}\) と弧 \({\rm CD}\) が等しいとき、
また、
これより、弧の長さの比と中心角の比は一致します。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/7EA912E8-9E3F-40E4-AEFD-E5C5C468D382.jpeg)
円に内接する四角形と角
四角形の対角の和は \(180^\circ\) となります。
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4313_6.png)
上の図より、
逆に、四角形の対角が等しければその四角形は円に内接します。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/38238952-C0AD-47CC-804C-F4D4E51211AC.jpeg)
接弦定理
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4314_3.png)
上の図で、\(\triangle {\rm ABC}\) の外接円と点 \({\rm A}\) での接線 \({\rm ST}\) において、
また、
これらが成り立ちます。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/6E2E31D2-3C23-4AC6-BB75-72D967A97221.jpeg)
内接円と接線の条件
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4315_3.png)
円と接線の性質より、
が成り立ちます。また、他の頂点でも同様に成り立ちます。
また、次のように \(\angle{\rm SAT}=90^\circ\) であるとき、
円より、四角形 \({\rm ASOT}\) は正方形となります。よって、
となり、円の半径と等しくなります。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/0BF05DAE-1874-4C4C-BE79-34A69A11BA41.jpeg)
方べきの定理
① 2本の直線のそれぞれについて、「円上の点→交点」と進む積の値を求めます。
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4316_4.png)
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4316_5.png)
② 上で求めた値をイコールで結びます。
また、接線がある場合は
片方の直線を「(接線の長さ)2」として計算します。
(※教科書の表記と異なる場合があります。)
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/B7421EDF-CFAB-4A2E-85EA-E074B0E6D73D.jpeg)
2つの円の位置関係と共通接線
\(d\) と \(R+r\) と \(R-r\) の大小関係より、2つの円の位置関係の条件を求めます。
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_1.png)
( ⅰ ) \(d>R+r\) のとき
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_2.png)
2つの円は離れている(外部にある)
共通接線は4本
( ⅱ ) \(d=R+r\) のとき
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_3.png)
2つの円は互いに外接する
共通接線は3本
( ⅲ ) \(R-r<d<R+r\) のとき
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_4.png)
2つの円は2点で交わる
共通接線は2本
( ⅳ ) \(d=R-r\) のとき
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_5.png)
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) に内接する
共通接線は1本
( ⅴ ) \(d<R-r\) のとき
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4317_6.png)
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) の内部にある
共通接線は0本
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/78A2800D-48D6-47F3-B62D-8942C29935ED.jpeg)
共通接線の長さ
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4318_3.png)
\({\rm AB}\) を平行移動して、\(\triangle {\rm OO’E}\) で三平方の定理を用いる。
パターン(2)
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/4318_7.png)
\({\rm CD}\) を平行移動して、\(\triangle {\rm OO’F}\) で三平方の定理を用いる。
問題と詳しい解説はこちらから
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/51756D4C-5C6F-4B74-AFF1-B790E9BBC5FE.jpeg)
![](https://yorikuwa.com/wp-content/uploads/2018/10/B7AE229A-C190-4471-A8F6-E15A351E6FA7.jpeg)