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三角形になるための条件

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今回の問題は「三角形になるための条件」です。

問題次の3つの値を3辺の長さとする三角形が存在するための \(x\) の値の範囲を求めよ。$${\small (1)}~x~,~2~,~5$$$${\small (2)}~x~,~2x~,~3$$

 

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三角形になるための条件

Point:三角形になるための条件三角形の3辺 \(a~,~b~,~c\) について、
2辺の和が他の1辺より大きくなるので、

$$\begin{eqnarray} a+b>c \\ b+c>a \\ c+a>b \end{eqnarray}$$

これらがすべて成り立ちます。
 
逆に、3つの値が3辺の長さとなる三角形となるためには、上のの3つの式がすべて成り立つ必要があります。

 

問題解説:三角形になるための条件

問題解説(1)

問題次の3つの値を3辺の長さとする三角形が存在するための \(x\) の値の範囲を求めよ。$${\small (1)}~x~,~2~,~5$$

三角形の辺の条件の2辺の和は、他の1辺より大きいので、$$~~~ \begin{eqnarray} x+2>5~~~\cdots{\Large ①} \\ x+5>2~~~\cdots{\Large ②} \\ 2+5>x~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$
①より、$$\hspace{ 10 pt}x+2>5$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x>5-2$$$$\hspace{ 10 pt}x>3$$
また、②より$$\hspace{ 10 pt}x+5>2$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x>2-5$$$$\hspace{ 10 pt}x>-3$$
また、③より$$\hspace{ 10 pt}2+5>x$$$$\hspace{ 28 pt}7>x$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}x<7$$
よって、数直線上にまとめると、

これより、答えは$$~~~3<x<7$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の3つの値を3辺の長さとする三角形が存在するための \(x\) の値の範囲を求めよ。$${\small (2)}~x~,~2x~,~3$$

三角形の辺の条件の2辺の和は、他の1辺より大きいので、$$~~~ \begin{eqnarray} x+2x>3~~~\cdots{\Large ①} \\ x+3>2x~~~\cdots{\Large ②} \\ 2x+3>x~~~\cdots{\Large ③} \end{eqnarray}$$
①より$$\hspace{ 10 pt}x+2x>3$$$$\hspace{ 10 pt}3x>3$$両辺を \(3\) で割ると$$\hspace{ 10 pt}x>1$$
また、②より$$\hspace{ 10 pt}x+3>2x$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x-2x>-3$$$$\hspace{ 26 pt}-x>-3$$両辺を \(-1\) かけると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}x<3$$
また、③より$$\hspace{ 10 pt}2x+3>x$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2x-x>-3$$$$\hspace{ 33 pt}x>-3$$
よって、数直線上にまとめると、

これより、答えは$$~~~1<x<3$$となります。

 

今回のまとめ

三角形になるための条件は、3つの辺より3つの条件式をつくりそれを解くことにより求めましょう。

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