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【問題一覧】数学B:空間ベクトル

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このページは「高校数学B:空間ベクトル」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学B:空間ベクトル

空間の点の座標

問題点 \({\rm P}(-3~,~2~,~1)\) に対して、次の点の座標を求めよ。
\({\small (1)}\) \(xy\) 平面に下ろした垂線と \(xy\) 平面との交点 \({\rm A}\)
\({\small (2)}\) \(zx\) 平面に下ろした垂線と \(zx\) 平面との交点 \({\rm B}\)
\({\small (3)}\) 原点に対して対称な点 \({\rm C}\)
\({\small (4)}\) \(x\) 軸に対して対称な点 \({\rm D}\)
\({\small (5)}\) \(xy\) 平面に対して対称な点 \({\rm E}\)

[ 解答を見る ]

【解答】$$~{\small (1)}~{\rm A}(-3~,~2~,~0)$$$$~{\small (2)}~{\rm B}(-3~,~0~,~1)$$$$~{\small (3)}~{\rm C}(3~,~-2~,~-1)$$$$~{\small (4)}~{\rm D}(-3~,~-2~,~-1)$$$$~{\small (5)}~{\rm E}(-3~,~2~,~-1)$$

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空間の点の座標
空間の点の座標の移動について解説していきます。全てのパターンを暗記するのは大変なので、どのように変化すかの規則性を覚えておきましょう。

 

空間ベクトルの基本と分解

問題平行六面体 \({\rm ABCD-EFGH}\) において、\({\rm AB}=4\) \(,\) \({\rm AD}=3\) \(,\) \({\rm AE}=2\) であり \(\overrightarrow{\rm AB}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm AD}\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm AE}\) の単位ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{x}\) \(,\) \(\overrightarrow{y}\) \(,\) \(\overrightarrow{z}\) とするとき、次のベクトルを \(\overrightarrow{x}\) \(,\) \(\overrightarrow{y}\) \(,\) \(\overrightarrow{z}\) を用いて表せ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AF}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AG}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm FH}$$$${\small (5)}~\overrightarrow{\rm EC}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}=4\overrightarrow{x}$$$$~{\small (2)}~\overrightarrow{\rm AE}=4\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{z}$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{\rm AG}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}$$$$~{\small (4)}~\overrightarrow{\rm FH}=3\overrightarrow{y}-4\overrightarrow{x}$$$$~{\small (5)}~\overrightarrow{\rm EC}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{z}$$

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空間ベクトルの基本と分解
空間ベクトルの基本と分解について解説していきます。平面ベクトルのときと同様のベクトルの性質を求めることができます。また、空間ベクトルの分解は3つのベクトルを用いることに注意しましょう。

 

空間ベクトルの成分と大きさ

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、以下の問いに答えよ。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)~,~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}\) の大きさを求めよ。
\({\small (2)}\) \(\overrightarrow{b}\) の大きさを求めよ。
\({\small (3)}\) \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (4)}\) \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。
\({\small (5)}\) \(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}\) を成分で表し、大きさを求めよ。

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【解答】$$~{\small (1)}~|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$$$$~{\small (2)}~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3~,~1~,~1)$$$$~~~~~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{11}$$$$~{\small (4)}~\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(3~,~1~,~3)$$$$~~~~~|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{19}$$$$~{\small (5)}~3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}=(5~,~-10~,~4)$$$$~~~~~|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}|=\sqrt{141}$$

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空間ベクトルの成分と大きさ
空間ベクトルの成分と大きさについて解説していきます。平面ベクトルと同様に計算できますが、z座標が増えている点に注意しましょう。

 

空間ベクトルの成分と式変形

問題次のベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) について、\(\overrightarrow{d}\) を$$~~~\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$$で表せ。ただし、\(l~,~m~,~n\) は定数とする。$$~~~\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)$$$$~~~\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~\overrightarrow{d}=(5~,~-3~,~4)$$

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【解答】$$~~~\overrightarrow{d}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{7}{4}\overrightarrow{c}$$

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空間ベクトルの成分と式変形
今回は空間ベクトルの成分と式変形について解説していきます。空間ベクトルの成分でもベクトルの相等が成り立つのでそれを利用して解いていきましょう。

 

空間の点とベクトルの成分

問題空間上の4点について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$$~~~{\rm O}(0~,~0~,~0)~,~ {\rm A}(1~,~-2~,~0)$$$$~~~{\rm B}(2~,~3~,~1)~,~ {\rm C}(-1~,~2~,~-2)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm BC}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm CA}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm OC}=(-1~,~2~,~-2)$$$$~~~~~|\overrightarrow{\rm OC}|=3$$$$~{\small (2)}~\overrightarrow{\rm AB}=(1~,~5~,~1)$$$$~~~~~|\overrightarrow{\rm AB}|=3\sqrt{3}$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{\rm BC}=(-3~,~-1~,~-3)$$$$~~~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{19}$$$$~{\small (4)}~\overrightarrow{\rm CA}=(2~,~-4~,~2)$$$$~~~~~|\overrightarrow{\rm CA}|=2\sqrt{6}$$

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空間の点とベクトルの成分
今回は空間の点とベクトルの成分について解説していきます。空間の点の座標からベクトルの成分を求められるようになりましょう。

 

空間ベクトルの内積①(基本)

問題1辺の長さが \(2\) の正四面体 \({\rm OABC}\) と線分 \({\rm AB}\) の中点 \({\rm M}\) について、次の内積を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}$$$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm OC}=2$$$$~{\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OM}=3$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0$$$$~{\small (4)}~\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=-2$$

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空間ベクトルの内積①(基本)
今回は空間ベクトルの内積について解説していきます。平面ベクトルと同様に始点をそろえてからなす角を用いることに注意しましょう。

 

空間ベクトルの内積②(成分利用)

問題次の2つのベクトルの内積となす角\(\theta\) を求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{a}=(2~,~2~,~-1)~,~\overrightarrow{b}=(0~,~-1~,~1)$$$${\small (2)}~\overrightarrow{a}=(1~,~2~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~3~,~1)$$

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-3~,~\theta=135^\circ$$$$~{\small (2)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=7~,~\theta=60^\circ$$

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空間ベクトルの内積②(成分利用)
今回は成分を用いた空間ベクトルの内積について解説していきます。位置ベクトルの成分から内積を計算できるようになりましょう。

 

空間ベクトルの垂直条件

問題\(\overrightarrow{p}=(x~,~y~,~14)\) が \(\overrightarrow{a}=(1~,~-2~,~0)\) と \(\overrightarrow{b}=(2~,~3~,~1)\) の両方に垂直であるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

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【解答】$$~~~x=-4~,~y=-2$$

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空間ベクトルの垂直条件
今回は空間ベクトルの垂直条件について解説していきます。平面ベクトルと同様に、「内積が 0 」の条件式を立式しましょう。

 

空間の位置ベクトル

問題空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) と原点 \({\rm O}\) について、次のベクトルの成分を求めよ。
\({\small (1)}\) 点 \({\rm S}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に内分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OS}\) の成分
\({\small (2)}\) 点 \({\rm T}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(1:2\) に外分するとき、 \(\overrightarrow{\rm OT}\) の成分
\({\small (3)}\) \(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\) とするとき、 \(\overrightarrow{\rm OG}\) の成分

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm OS}=\left( \frac{4}{3}~,~-\frac{1}{3}~,~\frac{1}{3} \right)$$$$~{\small (2)}~\overrightarrow{\rm OT}=(0~,~-7~,~-1)$$$$~{\small (3)}~\overrightarrow{\rm OG}=\left( \frac{2}{3}~,~1~,~-\frac{1}{3} \right)$$

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空間の位置ベクトル
今回は空間の位置ベクトルについて解説していきます。内分点、外分点と重心の位置ベクトルの式をおさえておきましょう。

 

空間の3点が同一直線上にある条件

問題空間の2点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) と点 \({\rm P}(x~,~y~,~3)\) が同一直線上にあるとき、\(x~,~y\) の値を求めよ。

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【解答】$$~~~x=4~,~y=13$$

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空間の3点が同一直線上にある条件
空間の3点が同一直線上にある条件について解説していきます。平面ベクトルのときと同様に、一直線上となる条件式を用いて解いていきましょう。

 

空間の4点が同一平面上にある条件

問題空間上の3点 \({\rm A}(1~,~-2~,~0)\) \(,\) \({\rm B}(2~,~3~,~1)\) \(,\) \({\rm C}(-1~,~2~,~-2)\) が定める平面上に点 \({\rm P}(x~,~0~,~2)\) があるとき、\(x\) の値を求めよ。

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【解答】$$~~~x=3$$

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空間の4点が同一平面上にある条件
今回は空間の4点が同一平面上にある条件について解説していきます。3つの点が定める平面に他の1つの点があるときに成り立つ条件式をおさえておきましょう。

 

延長線が平面上にある条件

問題四面体 \({\rm OABC}\) について、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm D}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) 、線分 \({\rm DM}\) を \(2:5\) に内分する点を \({\rm S}\) とするとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{\rm OS}\) を \(\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB}~,~\overrightarrow{\rm OC}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}\) 面 \({\rm ABC}\) 上の点 \({\rm P}\) が線分 \({\rm OS}\) の延長線上にあるとき、\({\rm OS:SP}\) を求めよ。

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【解答】$$~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm OS}=\frac{3}{7}\overrightarrow{\rm OA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OB}+\frac{1}{7}\overrightarrow{\rm OC}$$$$~{\small (2)}~{\rm OS:SP}=5:2$$

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延長線が平面上にある条件
延長線が平面上にある条件について解説していきます。この単元は定期テストや入試で出題されやすいので、しっかりと解法の手順を覚えておきましょう。

 

空間ベクトルの内積と証明

問題四面体 \({\rm ABCD}\) において、次のことを証明せよ。$$~~~{\rm AD}\perp{\rm CB}~,~{\rm AC}\perp{\rm DB}~~\Rightarrow~~{\rm AB}\perp{\rm CD}$$

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空間ベクトルの内積と証明
空間ベクトルの内積と証明について解説していきます。空間において垂直が与えられた場合は、条件として内積=0となることを用いて証明していきましょう。

 

球面の方程式

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 点 \((2~,~3~,~1)\) を中心とする半径 \(3\) の球面の方程式を求めよ。
\({\small (2)}\) 2点 \((1~,~-2~,~0)~,~(-1~,~2~,~-2)\) を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

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【解答】$$~{\small (1)}~(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=9$$$$~{\small (2)}~x^2+y^2+(z+1)^2=6$$

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球面の方程式
今回は球面の方程式について解説していきます。平面上の円の方程式と同様に、球の中心の座標と半径から方程式を求めましょう。