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【問題一覧】数学Ⅰ:図形と計量

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このページは「高校数学Ⅰ:図形と計量」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅰ:図形と計量

直角三角形と三角比

問題\(\angle {\rm B}\) が直角の直角三角形 \({\rm ABC}\) について、\({\rm AB}=4~,~{\rm BC}=3\) のとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{{\rm A}}$$$${\small (2)}~\cos{{\rm A}}$$$${\small (3)}~\tan{{\rm A}}$$$${\small (4)}~\tan{{\rm C}}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\sin{{\rm A}}=\frac{3}{5}$$$$~{\small (2)}~~\cos{{\rm A}}=\frac{4}{5}$$$$~{\small (3)}~~\tan{{\rm A}}=\frac{3}{4}$$$$~{\small (4)}~~\tan{{\rm A}}=\frac{4}{3}$$

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直角三角形と三角比
三角比の定義と直角三角形について解説していきます。三角比の値の求め方と直角三角形の描き方を覚えておきましょう。

 

三角比の値(鋭角)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~30^\circ$$$${\small (2)}~60^\circ$$$${\small (3)}~45^\circ$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}~,~\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~~~\tan{30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$$$~{\small (2)}~~\sin{60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}~,~\cos{60^\circ}=\frac{1}{2}$$$$~~~~~\tan{60^\circ}=\sqrt{3}$$$$~{\small (3)}~~\sin{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}~,~\cos{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~~~\tan{45^\circ}=1$$

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三角比の値(鋭角)
今回は三角比の値の求め方について解説していきます。直角三角形を描いて求める方法だと後々の鈍角のときに応用が利かないので、単位円で求められるように練習しましょう。

 

余角の公式

問題次の三角比を \(45^\circ\) 以下の三角比で表せ。$${\small (1)}~\sin{85^\circ}$$$${\small (2)}~\cos{63^\circ}$$$${\small (3)}~\tan{71^\circ}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\cos{5^\circ}$$$$~{\small (2)}~~\sin{27^\circ}$$$$~{\small (3)}~~\frac{1}{\tan{19^\circ}}$$

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余角の公式
今回は余角の公式について解説していきます。そのまま公式を覚えるのではなく、単位円上での位置関係を考えて覚えましょう。

 

三角比の相互関係の公式(鋭角)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の条件のとき、\(\cos{\theta}\) \(~,~\) \(\tan{\theta}\) の値を求めよ。ただし、\(0^\circ < \theta < 90^\circ \) とする。$$~~~\sin{\theta}=\frac{2}{3}$$\({\small (2)}\) 次の条件のとき、\(\sin{\theta}\) \(~,~\) \(\cos{\theta}\) の値を求めよ。ただし、\(\theta\) は鋭角とする。$$~~~\tan{\theta}=2\sqrt{2}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{3}~,~\tan{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$$$~{\small (2)}~~\sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{3}~,~\cos{\theta}=\frac{1}{3}$$

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三角比の相互関係の公式(鋭角)
三角比の相互関係の公式について解説していきます。どれか一つでもわかっていれば残りの三角比を求めることができます。公式とその使い方を覚えておきましょう。

 

三角比の拡張

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~120^\circ$$$${\small (2)}~135^\circ$$$${\small (3)}~150^\circ$$$${\small (4)}~0^\circ$$$${\small (5)}~180^\circ$$$${\small (6)}~90^\circ$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\sin{120^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}~,~\cos{120^\circ}=-\frac{1}{2}$$$$~~~~~\tan{120^\circ}=-\sqrt{3}$$$$~{\small (2)}~~\sin{135^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}~,~\cos{135^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~~~\tan{135^\circ}=-1$$$$~{\small (3)}~~\sin{150^\circ}=\frac{1}{2}~,~\cos{150^\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~~~\tan{150^\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$$$~{\small (4)}~~\sin{0^\circ}=0~,~\cos{0^\circ}=1$$$$~~~~~\tan{0^\circ}=0$$$$~{\small (5)}~~\sin{180^\circ}=0~,~\cos{180^\circ}=-1$$$$~~~~~\tan{180^\circ}=0$$$$~{\small (6)}~~\sin{90^\circ}=1~,~\cos{90^\circ}=0$$\(~~~~~\tan{0^\circ}\) は解なし

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三角比の拡張
今回からは、三角比の値について角を拡張して考えます。具体的に鋭角だけで考えていたものを0°から180°まで拡張します。解法は今までと同様に単位円を用いて解いていきましょう。

 

三角比と方程式

問題次の方程式を満たす \(\theta\) を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$$${\small (3)}~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$$${\small (4)}~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\theta=30^\circ~,~150^\circ$$$$~{\small (2)}~~\theta=120^\circ$$$$~{\small (3)}~~\theta=60^\circ$$$$~{\small (4)}~~\theta=45^\circ~,~135^\circ$$

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三角比と方程式
今回は三角比の値から角度を求める問題について解説していきます。この問題は今後重要となりますので、単位円より求める方法を練習しておきましょう。

 

三角比と不等式

問題次の不等式を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$${\small (1)}~\sin{\theta}≦\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\theta}<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$${\small (3)}~\tan{\theta}≦\frac{1}{\sqrt{3}}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~0^\circ≦\theta≦30^\circ~,~150^\circ≦\theta≦180^\circ$$$$~{\small (2)}~~150^\circ<\theta≦180^\circ$$$$~{\small (3)}~~0^\circ≦\theta≦30^\circ~,~0^\circ<\theta≦180^\circ$$

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三角比と不等式
前回の方程式に続いて不等式のときを見ていきましょう。基本的な解法は単位円上に表すことです。少々難しいですが、できるように練習しておきましょう。

 

補角の公式

問題次の三角比を \(90^\circ\) 以下の角の三角比で表せ。$${\small (1)}~\sin{131^\circ}$$$${\small (2)}~\cos{156^\circ}$$$${\small (3)}~\tan{142^\circ}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\sin{49^\circ}$$$$~{\small (2)}~~-\cos{24^\circ}$$$$~{\small (3)}~~-\tan{38^\circ}$$

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補角の公式
今回は補角の公式について解説していきます。余角の公式のときと同様に単位円上に表すことで、公式を導けるようにしましょう。

 

三角比の相互関係の公式(鈍角)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の条件のとき、\(\cos{\theta}\) \(~,~\) \(\tan{\theta}\) の値を求めよ。ただし、\(\theta\) を鈍角とする。$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$\({\small (2)}\) 次の条件のとき、\(\sin{\theta}\) \(~,~\) \(\cos{\theta}\) の値を求めよ。ただし、\(0^\circ<\theta<180^\circ\) とする。$$~~~\tan{\theta}=-\frac{3}{4}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{7}}{3}~,~\tan{\theta}=-\frac{\sqrt{14}}{7}$$$$~{\small (2)}~~\sin{\theta}=\frac{3}{5}~,~\cos{\theta}=-\frac{4}{5}$$

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三角比の相互関係の公式(鈍角)
鈍角の場合での三角比の相互関係の公式を見ていきましょう。基本的な解法は鋭角のときと同じですが、鈍角であるので、三角比の符号に注意しましょう。

 

三角比の等式証明

問題次の等式を証明せよ。$$~~~\frac{\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}+\tan{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}$$

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解説ページはこちらから↓

三角比の等式証明
三角比の等式証明について解説していきます。与えられた等式よりどのように式変形するかのパターンを覚えておきましょう。

 

直線の傾きと正接

問題次の直線の式のグラフと \(x\) 軸の正の部分からなす角を \(\theta\) を求めよ。$${\small (1)}~y=x$$$${\small (2)}~y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$$$${\small (3)}~y=-\sqrt{3}x$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~45^\circ$$$$~{\small (2)}~~30^\circ$$$$~{\small (3)}~~120^\circ$$

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直線の傾きと正接
今回は直線の傾きと正接について解説していきます。傾きがそのまま tan の値となるので、それよりなす角を求めましょう。

 

三角比と2次方程式

問題次の方程式の解を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦180^\circ\) とする。$$~~~2\cos^2{\theta}-\cos{\theta}-1=0$$

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【解答】$$~~~\theta=0^\circ~,~120^\circ$$

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三角比と2次方程式
今回は三角比と2次方程式について解説していきます。与えられた式の三角比を別の文字に置換して、その文字の2次方程式として解きましょう。

 

三角比の式の値

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 次の条件のとき、\(\sin{\theta} \cos{\theta}\) の値を求めよ。$$~~~\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}$$\({\small (2)}\) 次の条件のとき、\(\sin{\theta}+\cos{\theta}\) の値を求めよ。ただし、\(0^\circ≦\theta≦90^\circ\) とする。$$~~~\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{3}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~{\small (2)}~~\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{\sqrt{15}}{3}$$

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三角比の式の値
三角比の値について解説していきます。与えられた条件によって解法が少し変わりますので、しっかりと覚えておきましょう。

 

正弦定理

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の条件のとき以下の問いに答えよ。ただし、\(R\) は外接円の半径とする。$$~~~\angle{\rm C}=45^\circ~,~b=\sqrt{2}~,~c=2$$$${\small (1)}~\angle{\rm B}$$$${\small (2)}~\angle{\rm A}$$$${\small (3)}~R$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\angle{\rm B}=30^\circ$$$$~{\small (2)}~~\angle{\rm A}=105^\circ$$$$~{\small (3)}~~R=\sqrt{2}$$

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正弦定理
正弦定理を用いる問題について解説していきます。公式とその使い方をしっかりお覚えておきましょう。

 

余弦定理

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\triangle {\rm ABC}\) について、以下の条件のとき、\(b\) の値を求めよ。$$~~~\angle{\rm B}=30^\circ~,~a=4~,~c=\sqrt{3}$$\({\small (2)}\) \(\triangle {\rm ABC}\) について、以下の条件のとき、\(\angle{\rm B}\) の値を求めよ。$$~~~a=5~,~b=\sqrt{19}~,~c=3$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~b=\sqrt{7}$$$$~{\small (2)}~~\angle{\rm B}=60^\circ$$

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余弦定理
今回は余弦定理について解説していきます。正弦定理と同じように、公式を覚えるだけでなく使い方までしっかりと覚えておきましょう。

 

余弦定理と2次方程式

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の条件のとき \(c\) の値を求めよ。$$~~~\angle{\rm B}=30^\circ~,~a=3\sqrt{3}~,~b=\sqrt{7}$$

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【解答】$$~~~c=4~,~5$$

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余弦定理と2次方程式
今回は余弦定理の別のパターンを解説していきます。余弦定理の式が2次方程式となる問題を見ていきましょう。

 

三角形の辺と角の条件

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (1)}~a=7~,~b=4~,~c=6$$$${\small (2)}~a=\sqrt{7}~,~b=6~,~c=4$$$${\small (3)}~a=13~,~b=5~,~c=12$$

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【解答】
\(~{\small (1)}\) 鋭角三角形
\(~{\small (2)}\) 鋭角三角形
\(~{\small (3)}\) 直角三角形

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三角形の辺と角の条件
どのような三角形となるかを調べる問題について解説していきます。3つの辺の条件を覚えておきましょう。

 

三角形の面積(三角比)

問題次の \(\triangle {\rm ABC}\) の面積を求めよ。$${\small (1)}~\angle{\rm B}=45^\circ~,~a=7~,~c=3$$$${\small (2)}~\angle{\rm B}=30^\circ~,~b=4~,~c=4$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~S=\frac{21\sqrt{2}}{4}$$$$~{\small (2)}~~S=4\sqrt{3}$$

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三角形の面積(三角比)
三角比を用いて三角形の面積を求める問題を解説していきます。公式とその使い方を覚えておいましょう。

 

内接円の半径

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以下の条件のとき、次の値を求めよ。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) 、内接円の半径を \(r\) とする。$$~~~~~~a=7~,~b=8~,~c=5$$$${\small (1)}~\cos{{\rm B}}$$$${\small (2)}~\sin{{\rm B}}$$$${\small (3)}~S$$$${\small (4)}~r$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~\cos{{\rm B}}=\frac{1}{7}$$$$~{\small (2)}~~\sin{{\rm B}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$$$$~{\small (3)}~~S=10\sqrt{3}$$$$~{\small (4)}~~r=\sqrt{3}$$

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内接円の半径
三角形の内接円の半径を求める公式について解説していきます。公式も重要ですが、公式を使うまでの流れも重要ですのでしっかりと覚えておきましょう。

 

角の二等分線の長さ

問題\(\triangle {\rm ABC}\) について以外の条件のとき、次の問いに答えよ。また、\(\angle{\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) との交点を \({\rm D}\) 、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とする。$$~~~~~~\angle{\rm A}=60^\circ~,~b=3~,~c=4$$$${\small (1)}~S$$$${\small (2)}~{\rm AD}$$

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【解答】$$~{\small (1)}~~S=3\sqrt{3}$$$$~{\small (2)}~~{\rm AD}=\frac{12}{7}\sqrt{3}$$

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角の二等分線の長さ
角の二等分線の長さを求める問題について解説していきます。このパターンは公式としてではなく、求める手順を覚えておきましょう。

 

円に内接する四角形

問題円に内接する四角形 \({\rm ABCD}\) についてわ以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=7~,~{\rm BC}=5~,~{\rm CD}=2~,~{\rm DA}=5$$\({\small (1)}\) \(\angle{\rm ABC}\) の値
\({\small (2)}\) 対角線 \({\rm AC}\)
\({\small (3)}\) 四角形 \({\rm ABCD}\) の面積

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【解答】$$~{\small (1)}~~\angle{\rm ABC}=60^\circ$$$$~{\small (2)}~~{\rm AC}=\sqrt{39}$$$$~{\small (3)}~~\frac{45\sqrt{3}}{4}$$

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円に内接する四角形
今回は円に内接する四角形について解説していきます。頻出パターンですので、しっかりと解法の手順を覚えておきましょう。

 

直方体の計量

問題直方体 \({\rm ABCDEFGH}\) について以下の条件のとき、次の問いに答えよ。$$~~~{\rm AB}=1~,~{\rm AD}=\sqrt{6}~,~{\rm AE}=\sqrt{3}$$\({\small (1)}\) \(\angle{\rm AFC}\)
\({\small (2)}\) \(\triangle {\rm AFC}\) の面積
\({\small (3)}\) 三角錐 \({\rm BAFC}\) の体積
\({\small (4)}\) 点 \({\rm B}\) から平面 \({\rm AFC}\) へ下ろした垂線 \({\rm BI}\) の長さ

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【解答】$$~{\small (1)}~~\theta=60^\circ$$$$~{\small (2)}~~S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$$$~{\small (3)}~~V=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$~{\small (4)}~~{\rm BI}=1$$

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直方体の計量
直方体の計量の問題について解説していきます。立体図形の計量の基本的な解法も押さえておきましょう。

 

正四面体の計量

問題1辺の長さが \(3\) の正四面体 \({\rm ABCD}\) について、辺\({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\)、頂点 \({\rm A}\) から線分 \({\rm MD}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とするとき、次の値を求めよ。
\({\small (1)}\) \(\cos{\angle{\rm AMD}}\)
\({\small (2)}\) 辺 \({\rm AH}\)
\({\small (3)}\) 正四面体 \({\rm ABCD}\) の体積

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【解答】$$~{\small (1)}~~\cos{\angle{\rm AMD}}=\frac{1}{3}$$$$~{\small (2)}~~{\rm AH}=\sqrt{6}$$$$~{\small (3)}~~\frac{9\sqrt{2}}{4}$$

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正四面体の計量
今回は正四面体の計量について解説していきます。「正四面体の性質」や「三角形の高さと正弦」を覚えておきましょう。