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三角比の値(鋭角)

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今回の問題は「三角比の値(鋭角)」です。

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~30^\circ$$$${\small (2)}~60^\circ$$$${\small (3)}~45^\circ$$

 

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三角比の値(鋭角)の求め方

Point:タイトル半径 \(1\) の円を単位円といい、\(x\) 軸との正の部分とのなす角を \(\theta\) としたとき、

点 \({\rm P}\) の座標が次のようになります。

$${\rm P}(\cos{\theta}~,~\sin{\theta})$$

また、直線 \({\rm OP}\) の傾き \(m\) とすると、

$$m=\tan{\theta}$$

となります。
 
\(30^\circ \times n\) の角の場合

\(45^\circ \times n\) の角の場合

 

問題解説:三角比の値(鋭角)

問題解説(1)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~30^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、\(\sqrt{3}:1:2\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{30^\circ}=\frac{1}{2}~,~\cos{30^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{30^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (2)}~60^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、\(1:\sqrt{3}:2\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{60^\circ}=\frac{1}{2}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{60^\circ}=\sqrt{3}$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}~,~\cos{60^\circ}=\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{60^\circ}=\sqrt{3}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の角の \(\sin{}\)\(~,~\)\(\cos{}\)\(~,~\)\(\tan{}\) の値を求めよ。$${\small (3)}~45^\circ$$

単位円上に角を表すと次のようになり、\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形となります。

\(\sin{}\) の値は円との交点の \(y\) 座標なので、$$~~~\sin{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(\cos{}\) の値は円との交点の \(x\) 座標なので、$$~~~\cos{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\(\tan{}\) の値は、原点と交点を結ぶ直線の傾きより、$$~~~\tan{45^\circ}=1$$となります。
よって、答えは$$~~~\sin{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}~,~\cos{45^\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{45^\circ}=1$$となります。

 

今回のまとめ

三角比の値は単位円を描いて求めましょう。また、単位円は今後の三角比において重要となります。しっかりと覚えておきましょう。

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