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【問題一覧】数学Ⅱ:複素数と方程式

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このページは「高校数学Ⅱ:式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

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【問題一覧】数学Ⅱ:式と証明

複素数の相等

問題次の等式を満たす実数 \(a~,~b\) の値を求めよ。$${\small (1)}~(2a-1)+(6a+b)i=0$$$${\small (2)}~(7-3i)a+(i-1)b=3+i$$

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【解答】$${\small (1)}~a=\frac{1}{2}~,~b=3~~~~~~{\small (2)}~a=1~,~b=4$$

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複素数の相等
今回からは複素数の性質や計算方法について解説していきます。複素数の相等は基本性質の1つなのでしっかりと覚えましょう。

 

複素数の計算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~(7+i)+(2-5i)$$$${\small (2)}~(2+i)^2$$$${\small (3)}~(3-i)(1-i)$$$${\small (4)}~i^{10}$$$${\small (5)}~i^{100}$$

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【解答】$${\small (1)}~9-4i~~~~~~{\small (2)}~3+4i$$$${\small (3)}~2-4i~~~~~~{\small (4)}~-1~~~~~~~~{\small (5)}~1$$

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複素数の計算
虚数単位 i を含む式の計算を解説していきます。文字式と同じように計算できますが、i の2乗は -1 にするのを忘れないようにしましょう。

 

共役な複素数と式の値

問題複素数 \(\alpha=3+i\) について、この複素数の共役な複素数を \(\overline {\alpha} \) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha+\overline {\alpha}$$$${\small (2)}~\alpha-\overline {\alpha}$$$${\small (3)}~\alpha\cdot \overline {\alpha}$$$${\small (4)}~\alpha^2+\overline {\alpha}^2$$

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【解答】$${\small (1)}~6~~~~~~{\small (2)}~2i~~~~~~{\small (3)}~10~~~~~~{\small (4)}~16$$

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共役な複素数と式の値
共役な複素数の性質と計算について解説していきましょう。ここでは数学Ⅰでの対称式の考え方も出てきます。

 

分数と複素数

問題次の式を \(a+bi\) の形にせよ。$${\small (1)}~\frac{1}{2+i}$$$${\small (2)}~\frac{i}{1-i}$$$${\small (3)}~\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}$$

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【解答】$${\small (1)}~\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i~~~~~~{\small (2)}~-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$$${\small (3)}~\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}i$$

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分数と複素数
分母が複素数で表された分数式を、a+bi の形にする計算を解説していきます。計算方法は平方根の有理化と似た解法となります。

 

負の数の平方根

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~-5\) の平方根を答えよ。
\({\small (2)}~\)次の計算をせよ。$$~{\large ①}~\sqrt{-9}+\sqrt{-25}$$$$~{\large ②}~\sqrt{-2}\times\sqrt{-6}$$$$~{\large ③}~\frac{\sqrt{-21}}{\sqrt{7}}$$$$~{\large ④}~\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-2}}$$

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【解答】$${\small (1)}~\pm\sqrt{5}i$$$${\small (2)}~{\large ①}~8i~~~~~~~~{\large ②}~-2\sqrt{3}$$$$~~~~~{\large ③}~\sqrt{3}i~~~~~~{\large ④}~-\frac{\sqrt{6}}{2}i$$

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負の数の平方根
ルートの中が負の数となるときの計算方法を解説していきます。どう計算するかの順序に注意して計算していきましょう。

 

2次方程式の虚数解

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^2=-3$$$${\small (2)}~(x-3)^2=-4$$$${\small (3)}~x^2+3x+9=0$$

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【解答】$${\small (1)}~x=\pm\sqrt{3}i~~~~~~{\small (2)}~x=3\pm2i$$$${\small (3)}~x=\frac{-3\pm3\sqrt{3}i}{2}$$

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2次方程式の虚数解
数学Ⅰでは2次方程式の解で解なしのときがありました。これは実数範囲で考えたときで、今回は複素数範囲まで広げて考えたときの2次方程式の解について解説していきます。

 

複素数範囲での2次方程式の解の条件

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。$$~{\large ①}~9x^2-6x+1=0$$$$~{\large ②}~x^2-x-1=0$$$$~{\large ③}~x^2+2x+4=0$$\({\small (2)}~\) 2次方程式 \(x^2-kx+1=0\) の解の種類を判別せよ。ただし、\(k\) は定数とする。

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【解答】
\({\small (1)}~\)① 重解をもつ
  ② 異なる2つの実数解をもつ
  ③ 異なる2つの虚数解をもつ
\({\small (2)}~\)\(k<-2~,~2<k\) とき、
   異なる2つの実数解をもつ
\(~~~~~k=\pm2\) とき、
   重解をつ
\(~~~~~-2<k<2\) とき、
   異なる2つの虚数解をもつ

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複素数範囲での2次方程式の解の条件
2次方程式がどのような解をもつかは判別式 D を用いて計算できます。今回は複素数範囲で考えるので、虚数解をもつ条件を加えて覚えましょう。

 

2次方程式の解と係数の関係

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha^2+\beta^2$$$${\small (2)}~\alpha^3+\beta^3$$$${\small (3)}~\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$$${\small (4)}~\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$$

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【解答】$${\small (1)}~7~~~~~~{\small (2)}~-18~~~~~~{\small (3)}~-3~~~~~~{\small (4)}~7$$

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2次方程式の解と係数の関係
2次方程式の係数とその2次方程式の解には関係式が成り立ちます。今回はその関係式と使い方について解説していきます。

 

2つの解の条件と解と係数の関係

問題2次方程式 \(x^2-2mx+m+8=0\) の1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 \(m\) の値を求めよ。

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【解答】$$~~~~~~m=-\frac{8}{3}~,~4$$

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2つの解の条件と解と係数の関係
今回は2次方程式の2つの解の条件が与えられたとにの問題について解説していきます。2つの解の条件と解と係数の関係を上手に使いましょう。

 

複素数範囲での因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+x+2$$$${\small (2)}~3x^2+4x-1$$

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【解答】$${\small (1)}~\left(x-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) \left(x-\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$$$$~=\left(x+\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right) \left(x+\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)$$$${\small (2)}~3\left(x-\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\right) \left(x-\frac{-2-\sqrt{7}}{3}\right)$$$$~=3\left(x+\frac{2-\sqrt{7}}{3}\right) \left(x+\frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)$$

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複素数範囲での因数分解
今までは有理数範囲について因数分解をしてきました。今回は複素数範囲まで広げたときの因数分解を解説していきます。

 

解が与えられた2次方程式

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 2数 \(1+2i~,~1-2i\) を解とする2次方程式を1つ答えよ。
\({\small (2)}~\) 2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の2数を解とする2次方程式を1つ答えよ。$$~~{\large ①}~\alpha-1~,~\beta-1$$$$~~{\large ②}~\alpha^2~,~\beta^2$$

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【解答】$${\small (1)}~x^2-2x+5=0$$$${\small (2)}~{\large ①}~x^2+5x+5=0$$$$~~~~~{\large ②}~x^2-7x+1=0$$

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解が与えられた2次方程式
解が与えられたときの2次方程式の決定について解説していきます。解と係数の関係を用いて、与えられた解より係数を決定しましょう。

 

2次方程式の解の符号

問題2次方程式 \(x^2-kx+k+8=0\) の2つの解が以下の条件のとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。
\({\small (1)}~\) 2つの解がともに負
\({\small (2)}~\) 異符号の解

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【解答】$${\small (1)}~-8<k<-4$$$${\small (2)}~k<-8$$

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2次方程式の解の符号
2次方程式の2つの解の正負について解説していきます。2次関数の単元でグラフを用いて解く方法もありますが、今回は解と係数の関係を用いる方法を覚えましょう。

 

剰余の定理

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+3x^2-5x+1\) を次の式で割ったときの余りを答えよ。$$~{\large ①}~x-1$$$$~{\large ②}~x+2$$$$~{\large ③}~2x+1$$$$~{\large ④}~3x-1$$\({\small (2)}~\) 多項式 \(P(x)=3x^3+ax^2+3x-1\) を \(x-2\) で割ったときの余りが \(-3\) となるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~2~~~~~~~~~{\large ②}~-1$$$$~~~~~{\large ③}~\frac{31}{8}~~~~~~{\large ④}~-\frac{20}{9}$$$${\small (2)}~a=-4$$

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剰余の定理
剰余の定理を用いると多項式の割り算をしなくても余りの値を求めることができます。また、剰余の定理を用いて多項式の係数を求める問題もできるようになりましょう。

 

剰余の定理と余りの決定

問題多項式 \(P(x)\) を \(x-1\)で割ったときの余りが \(5\)で、\(x+2\) で割ったときの余りが \(-1\) であるとき、\(P(x)\) を \(x^2+x-2\) で割ったときの余りを求めよ。

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【解答】$$~~~~~~2x+3$$

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剰余の定理と余りの決定
剰余の定理を用いて、多項式を2次式で割ったときの余りの式を求める問題を解説していきます。解法の手順を覚えておきましょう。

 

因数定理を用いる因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^3-3x^2-x+3$$$${\small (2)}~2x^3+3x^2-11x-6$$

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【解答】$${\small (1)}~(x-1)(x+1)(x-3)$$$${\small (2)}~(x-2)(2x+1)(x+3)$$

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因数定理を用いる因数分解
今回は因数定理とそれを用いた高次式の因数分解について解説していきます。因数を素早く見つけれるように練習しましょう。

 

高次方程式の解①(3次方程式)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^3=-8$$$${\small (2)}~x^3-5x^2+17x-13$$

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【解答】$${\small (1)}~x=-2~,~1\pm\sqrt{3}i$$$${\small (2)}~x=1~,~2\pm3i$$

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高次方程式の解①(3次方程式)
今回からは次数の高い方程式の解の求め方について解説していきます。基本は因数定理を用いる因数分解となりますので復習しておきましょう。

 

高次方程式の解②(4次方程式)

問題次の方程式の解を求めよ。$${\small (1)}~x^4+3x^2-26x-30=0$$$${\small (2)}~x^4-7x^2-18=0$$

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【解答】$${\small (1)}~x=-1~,~3~,~-1\pm3i$$$${\small (2)}~x=\pm\sqrt{2}i~,~\pm3$$

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高次方程式の解②(4次方程式)
今回は4次方程式の解について解説していきます。因数定理を用いる方法の他に、複2次式の因数分解を用いるパターンも覚えておきましょう。

 

3次方程式の虚数解

問題3次方程式 \(x^3-9x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(x=3-i\) であるとき、実数 \(a~,~b\) の値と他の解を求めよ。

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【解答】$$~~~a=28~,~b=-30$$ 他の解は、$$~~~x=3~,~3+i$$

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3次方程式の虚数解
3次方程式の3つの解のなかの1つの虚数解が与えられたとき、その3次方程式の係数を求める問題を解説していきます。解法が2通りあるので、それぞれ覚えておきましょう。

 

1の3乗根

問題1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とするとき、次の値を求めよ。$${\small (1)}~\omega^2+\omega+5$$$${\small (2)}~\omega^6$$$${\small (3)}~\omega^8+\omega^7$$$${\small (4)}~\omega^{100}+\omega^{50}+1$$

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【解答】$${\small (1)}~4~~~~~~{\small (2)}~1~~~~~~{\small (3)}~-1~~~~~~{\small (4)}~0$$

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1の3乗根
今回は1の3乗根について解説していきます。公式の作り方とその使い方をしっかりと理解して覚えておきましょう。