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2次方程式の解と係数の関係

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今回の問題は「2次方程式の解と係数の関係」です。

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha^2+\beta^2$$$${\small (2)}~\alpha^3+\beta^3$$$${\small (3)}~\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$$${\small (4)}~\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$$

 

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2次方程式の解と係数の関係の解法

Point:2次方程式の解と係数の関係・解と係数の関係
2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、

$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$$$$\hspace{ 13 pt}\alpha\beta=\frac{c}{a}$$

この関係式を基本対称式として、式の値を求める問題がよく出題されます。

 

問題解説:2次方程式の解と係数の関係

問題解説(1)

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\alpha^2+\beta^2$$

2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} ~\alpha+\beta=-\frac{3}{1} \\ ~\alpha\beta=\frac{1}{1} \end{eqnarray}$$これより、\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) となります。
したがって、対称式より$$~~~\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 44 pt}=(-3)^2-2\cdot1$$$$\hspace{ 44 pt}=9-2$$$$\hspace{ 44 pt}=7$$よって、答えは \(7\) となります。

 

問題解説(2)

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (2)}~\alpha^3+\beta^3$$

対称式より、$$~~~\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$$\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$\hspace{ 44 pt}=(-3)^3-3\cdot1\cdot(-3)$$$$\hspace{ 44 pt}=-27+9$$$$\hspace{ 44 pt}=-18$$よって、答えは \(-18\) となります。

 

問題解説(3)

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (3)}~\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$

$$~~~~~~\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$$通分すると、$$~=\frac{\beta}{\alpha\beta}+\frac{\alpha}{\alpha\beta}$$$$~=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$$\(\alpha+\beta=-3~,~\alpha\beta=1\) を代入すると、$$~=\frac{-3}{1}$$$$~=-3$$よって、答えは \(-3\) となります。

 

問題解説(4)

問題2次方程式 \(x^2+3x+1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、次の式の値を求めよ。$${\small (4)}~\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$$

$$~~~~~~\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}$$通分すると、$$~=\frac{\alpha^2}{\alpha\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha\beta}$$$$~=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}$$\(\alpha\beta=1\) と(1)の答えの \(\alpha^2+\beta^2=7\) を代入すると、$$~=\frac{7}{1}$$$$~=7$$よって、答えは \(7\) となります。

 

今回のまとめ

2次方程式の解と係数の関係は対称式として式の値を求める問題がよく出題されます。解と係数の関係の式だけでなく対称式の計算方法も覚えておきましょう。

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