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2つの解の条件と解と係数の関係

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今回の問題は「2つの解の条件と解と係数の関係」です。

問題2次方程式 \(x^2-2mx+m+8=0\) の1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 \(m\) の値を求めよ。

 

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2つの解の条件と解と係数の関係の解法

Point:2つの解の条件と解と係数の関係解法の手順は、
① 2つの解の条件より、2つの解を1つの文字を用いて表します。
解と係数の関係より、式を2つ作ります。
作った式を計算して未知数を求めます。
 
①については、
例えば、
「1つの解が他の解の2倍」のときは、\(\alpha\) と \(2\alpha\)
「1つの解が他の解より \(2\) 大きい」のときは、\(\alpha\) と \(\alpha+2\)
このように、1つの文字で表しましょう。

 

問題解説:2つの解の条件と解と係数の関係

問題2次方程式 \(x^2-2mx+m+8=0\) の1つの解が他の解の3倍であるとき、定数 \(m\) の値を求めよ。

1つの解が他の解の3倍であるので、この2次方程式の解は \(\alpha~,~3\alpha\) とおけます。
解と係数の関係より、$$~~~\Biggl\{ \begin{eqnarray} ~\alpha+3\alpha=-\frac{-2m}{1}~\cdots{\large ①} \\~\alpha\cdot3\alpha=\frac{m+8}{1}~\cdots{\large ②} \end{eqnarray}$$
①より、$$~~~\alpha+3\alpha=2m$$$$\hspace{ 26 pt}4\alpha=2m$$$$\hspace{ 24 pt}2m=4\alpha$$$$\hspace{ 30 pt}m=2\alpha~\cdots{\large ③}$$
②より、$$~~~\alpha\cdot3\alpha=m+8$$$$\hspace{ 15 pt}3\alpha^2=m+8$$③を代入すると、$$\hspace{17pt}3\alpha^2=2\alpha+8$$$$\hspace{ 17 pt}3\alpha^2-2\alpha-8=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 7 pt}(3\alpha+4)(\alpha-2)=0$$$$\hspace{ 70 pt}\alpha=-\frac{4}{3}~,~2$$
 
\(\alpha=-{\Large \frac{4}{3}}\) のとき、③に代入すると、$$~~~m=2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)$$$$\hspace{18pt}=-\frac{8}{3}$$
\(\alpha=2\) のとき、③に代入すると、$$~~~m=2\cdot2$$$$\hspace{18pt}=4$$
したがって、答えは \(m=-{\Large \frac{8}{3}}~,~4\) となります。

 

今回のまとめ

2つの解の条件が与えられているときは、その2つの解をどのように文字で表すか注意して解きましょう。

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