このページは「高校数学Ⅱ：微分と積分」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
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【問題一覧】数学Ⅱ：微分と積分
平均変化率
問題関数 \(f(x)=2x^2-3\) について以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(x=2\) から \(x=4\) までの平均変化率を求めよ。
\({\small (2)}\) \(x=2\) から \(x=2+h\) までの平均変化率を求めよ。
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【解答】$${\small (1)}~12$$$${\small (2)}~2h+8$$
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平均変化率
今回は平均変化率について解説していきます。表を用いて式を立てれるように練習しておきましょう。
極限値
問題次の極限値を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 2}(2x-1)$$$${\small (2)}~\lim_{x\to-1}(3x^2+5x)$$
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【解答】$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~-2$$
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極限値
今回は極限値について解説していきます。計算は非常に簡単なのでしっかりとおさえておきましょう。
微分係数
問題関数 \(f(x)=2x^2-3\) の \(x=2\) における微分係数を定義に従って求めよ。
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【解答】$$~~~f'(2)=8$$
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微分係数
今回は微分係数について解説していきます。平均変化率と極限値の考え方を用いて計算していきましょう。
導関数
問題次の関数の導関数を定義に従って求めよ。$${\small (1)}~f(x)=3x+1$$$${\small (2)}~f(x)=2x^2$$
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【解答】$${\small (1)}~f'(x)=3$$$${\small (2)}~f'(x)=4x$$
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導関数
今回は導関数について解説していきます。ただ単に導関数を求めるときは簡単な計算方法がありますが、導関数の定義に従って解く方法もおさえておきましょう。
微分の計算
問題次の関数を [ ] の文字で微分せよ。$${\small (1)}~y=x^3-2x^2+5x-5~~~[~x~]$$$${\small (2)}~y=(x+2)(3x-1)~~~[~x~]$$$${\small (3)}~y=(3x-1)^2~~~[~x~]$$$${\small (4)}~S=\pi r^2~~~[~r~]$$$${\small (5)}~V=\frac{4}{3}\pi r^3~~~[~r~]$$
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【解答】$${\small (1)}~y’=3x^2-4x+5$$$${\small (2)}~y’=6x+5$$$${\small (3)}~y’=18x-6$$$${\small (4)}~S’=2\pi r$$$${\small (5)}~V’=4\pi r^2$$
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微分の計算
今回は微分の計算について解説していきます。導関数の定義に従って求める方法ではなく、簡単な計算方法をおさえておきましょう。
２次関数の決定（微分係数の利用）
問題２次関数 \(f(x)\) が次の条件を満たすとき、\(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(2)=-1~,~f'(0)=-5~,~f'(1)=-1$$
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【解答】$$~~~f(x)=2x^2-5x+1$$
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２次関数の決定（微分係数の利用）
微分係数を用いた２次関数の決定について解説していきます。もとの関数と導関数の条件より、条件式を作りましょう。
接線の方程式①
問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-4x\) 上の点 \((1~,~-3)\) における接線。
\({\small (2)}\) \(y=x^3-2x^2+5x+1\) 上の点 \((2~,~11)\) における接線。
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【解答】$${\small (1)}~y=-2x-1$$$${\small (2)}~y=9x-7$$
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接線の方程式①
今回は曲線の接線の方程式について解説していきます。接点の座標の確認と接線の傾きの求め方がポイントとなります。
接線の方程式②（外部の点から引いた接線）
問題次の接線の方程式を求めよ。
\({\small (1)}\) \(y=x^2-2x+3\) の接線で、点 \((-1~,~-3)\) を通る接線。
\({\small (2)}\) \(y=-x^2+4x-3\) の接線で、傾きが \(6\) となる接線。
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【解答】$${\small (1)}~y=2x-1~,~y=-10x-13$$$${\small (2)}~y=6x-2$$
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接線の方程式②（外部の点から引いた接線）
今回は曲線の外部の点から引いた接線の方程式について解説していきます。接点の座標を文字で置いて考えるのがポイントとなります。
３次関数のグラフと増減表
問題次の関数の増減表とグラフをかけ。$${\small (1)}~y=x^3-6x^2+9x$$$${\small (2)}~y=-x^3+\frac{3}{2}x^2+6x-2$$$${\small (3)}~y=-2x^3+6x^2-6x+1$$$${\small (4)}~y=x^3+5x$$
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３次関数のグラフと増減表
今回は３次関数のグラフと増減表について解説していきます。グラフには様々なパターンがあるので、それぞれしっかりとおさえておきましょう。
３次関数の最大値・最小値
問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。$$~~~y=x^3-3x^2-9x+1~~~(0≦x≦4)$$
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【解答】
\(x=0\) のとき、最大値 \(1\)
\(x=3\) のとき、最小値 \(-26\)
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３次関数の最大値・最小値
今回は３次関数の最大値・最小値について解説していきます。増減表に定義域の両端の値を組み込んで考えましょう。
極値の条件と関数の決定
問題次の関数が \(x=1\) のとき極大値 \(4\) をとるとき、\(a~,~b\) の値と極小値を求めよ。$$~~~y=x^3-6x^2+ax+b$$
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【解答】
\(a=9\) 、\(b=0\) 、極小値 \(0\)
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極値の条件と関数の決定
今回は極値の条件と関数の決定について解説していきます。極値をとることより、関数と導関数のそれぞの条件式ができることをおさえておきましょう。
３次方程式の解の個数①
問題次の方程式の実数解の個数を調べよ。$${\small (1)}~x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1=0$$$${\small (2)}~-x^3+6x^2-12x+6=0$$
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【解答】
\({\small (1)}\) ３つの実数解をもつ
\({\small (2)}\) １つの実数解をもつ
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３次方程式の解の個数①
３次方程式の解の個数についての問題を解説していきます。３次関数としてグラフを描き、x 軸との共有点を調べましょう。
３次方程式の解の個数②（定数分離法）
問題\(t\) を定数とするとき、次の方程式の異なる実数解の個数を調べよ。$$~~~x^3-9x^2+15x+20-t=0$$
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【解答】
( ⅰ ) \(-5<t<27\) のとき、実数解３つ
( ⅱ ) \(t=-5~,~27\) のとき、実数解２つ
( ⅲ ) \(t<-5~,~27<t\) のとき、実数解１つ
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３次方程式の解の個数②（定数分離法）
定数を含む３次方程式の解の個数についての問題を解説していきます。定数を右辺に移項して、２つの関数のグラフを描いて考えましょう。
３次不等式の証明
問題\(x≧0\) のとき、次の不等式を証明せよ。$$~~~x^3-3x^2+4≧0$$
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３次不等式の証明
今回は３次不等式の証明を解説していきます。３次関数と考えて、グラフを描いて視覚的に解きましょう。
４次関数のグラフと増減表
問題次の関数のグラフを描け。$${\small (1)}~y=x^4-4x^3+4x^2$$$${\small (2)}~y=-x^4+4x^3-5$$
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４次関数のグラフと増減表
今回は４次関数のグラフと増減表について解説していきます。３次関数のときと同様に微分して増減表を作りましょう。
不定積分
問題次の不定積分を計算せよ。$${\small (1)}~\int(3x^2+7x-3)dx$$$${\small (2)}~\int(3t^2-4t+5)dt$$$${\small (3)}~\int(x-3)(x+1)dx$$$${\small (4)}~\int(3x-2)^2dx$$
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【解答】$${\small (1)}~x^3+\frac{7}{2}x^2-3x+C$$$${\small (2)}~t^3-2t^2+5t+C $$$${\small (3)}~\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C $$$${\small (4)}~ 3x^3-6x^2+4x+C$$
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不定積分
今回は不定積分の計算について解説していきます。積分の基本となるので、計算方法をしっかりと覚えておきましょう。
不定積分と関数の決定
問題関数 \(f(x)\) について、次の条件のとき \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(1)=5~,~f'(x)=3x^2-4x+2$$
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【解答】$$~~~f(x)=x^3-2x^2+2x+4$$
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不定積分と関数の決定
不定積分を用いた関数の決定について解説していきます。微分された関数が与えられたときは、その式を積分してもとの関数を求めましょう。
接線の傾きの条件と関数の決定
問題ある曲線 \(f(x)\) は点 \((1~,~-3)\) を通り、この曲線上の各点 \((x~,~y)\) での接線の傾きが \(2x-5\) となる。この曲線 \(f(x)\) を求めよ。
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【解答】$$~~~f(x)=x^2-5x+1$$
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接線の傾きの条件と関数の決定
任意の点での接線の傾きが与えられたときの関数の決定について解説していきます。任意の点での接線の傾きを積分することで、もとの関数を求めましょう。
定積分の計算
問題次の定積分の計算をせよ。$${\small (1)}~\int_{-2}^{1}(x^2+5x-1)dx$$$${\small (2)}~\int_{-1}^{2}(x-2)^2dx$$$${\small (3)}~\int_{-1}^{1}x^2dx-\int_{2}^{1}x^2dx$$
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【解答】$${\small (1)}~-\frac{15}{2}$$$${\small (2)}~9$$$${\small (3)}~3$$
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定積分の計算
今回は定積分の計算について解説していきます。計算ミスをしやすいので、ここでは細かく分けて計算する方法で説明していきます。
定積分を含む式
問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) を求めよ。$$~~~f(x)=2x-3\int_{0}^{1}f(t)dt$$
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【解答】$$~~~f(x)=2x-\frac{3}{4}$$
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定積分を含む式
今回は定積分を含む式について解説していきます。f(x) を求めるための手順をおさえておきましょう。
定積分で表された関数
問題次の等式を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) の値をそれぞれ求めよ。$$~~~\int_{a}^{x}f(t)dt=x^2-2x-8$$
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【解答】$$~~~f(x)=2x-2~,~a=-2~,~4$$
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定積分で表された関数
今回は定積分で表された関数について解説していきます。関数の求め方と区間の定数の求め方のそれぞれの手順をおさえておきましょう。
定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）
問題次の曲線と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=-x^2+x+2$$$${\small (2)}~y=x^2-2x$$
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【解答】$${\small (1)}~\frac{9}{2}$$$${\small (2)}~\frac{4}{3}$$
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定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）
今回から定積分と面積について解説していきます。曲線と x 軸とで囲まれた面積は、x 軸より上側か下側かがポイントとなります。
定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）
問題次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=x^2+x-5~,~y=2x+1$$$${\small (2)}~y=x^2+4x-5~,~y=-x^2-2x+3$$
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【解答】$${\small (1)}~\frac{125}{6}$$$${\small (2)}~\frac{125}{3}$$
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定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）
今回は曲線や直線にだけで囲まれた図形の面積について解説していきます。定積分の式を作るときに、どちらの関数が上にきているか確認しましょう。
定積分と面積③（区間付きの面積）
問題次の曲線や直線で囲まれる図形の面積を求めよ。$${\small (1)}~y=x^2-2x~,~x=0~,~x=3~,~y=0$$$${\small (2)}~y=x^2~(-2≦x≦2)$$$$~~~~~y=2x+3~,~x=-2~,~x=2$$
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【解答】$${\small (1)}~\frac{8}{3}$$$${\small (2)}~\frac{34}{3}$$
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定積分と面積③（区間付きの面積）
今回は決まった区間での図形の面積について解説していきます。関数をグラフで表し、区間で場合分けをして定積分の式を考えましょう。
絶対値を含む関数の定積分
問題次の定積分を計算せよ。$${\small (1)}~\int_{1}^{5} |x-2|dx$$$${\small (2)}~\int_{1}^{4} |x^2-2x| dx$$
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【解答】$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~\frac{22}{3}$$
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絶対値を含む関数の定積分
絶対値を含む関数の定積分について解説していきます。絶対値を含む関数のグラフを描いて、場合分けをして定積分を求めましょう。
