Twitterフォローよろしくお願いします!

4次関数のグラフと増減表

スポンサーリンク
スポンサーリンク

今回の問題は「4次関数のグラフと増減表」です。

問題次の関数のグラフを描け。$${\small (1)}~y=x^4-4x^3+4x^2$$$${\small (2)}~y=-x^4+4x^3-5$$

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

4次関数のグラフと増減表の解法

Point:4次関数のグラフと増減表解法の手順は、
4次関数 \(y=f(x)\) を \(x\) で微分し、3次関数 \(y’=f'(x)\) を求めます。
② 3次関数 \(y’=f'(x)\) より、\(f'(x)=0\) となる \(x\) の値を求めます。
③ 3次関数のグラフより、\(f'(x)\) の正負の変化をと極値の座標を調べておきます。
④ 以上より、増減表を作りグラフを描きます。

 

問題解説:4次関数のグラフと増減表

問題解説(1)

問題次の関数のグラフを描け。$${\small (1)}~y=x^4-4x^3+4x^2$$

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=4x^3-12x^2+8x$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=4x(x^2-3x+2)$$$$\hspace{ 21 pt}=4x(x-1)(x-2)$$ここで、\(y’=0\) となるのは$$\hspace{ 20 pt}x=0~,~1~,~2$$これと \(y’\) の3次式の係数が正より、\(y’\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=0\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=0^4-4\cdot0^3+4\cdot0^2$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$
\(x=1\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=1^4-4\cdot1^3+4\cdot1^2$$$$\hspace{ 18 pt}=1-4+4$$$$\hspace{ 18 pt}=1$$
\(x=2\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=2^4-4\cdot2^3+4\cdot2^2$$$$\hspace{ 18 pt}=16-32+16$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。

\(x\) \(\cdots\) \(0\) \(\cdots\) \(1\) \(\cdots\) \(2\) \(\cdots\)
\(y’\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(y\) ↘︎ \(0\) ↗︎ \(1\) ↘︎ \(0\) ↗︎

よって、
 \(x=1\) のとき極大値 \(1\)
 \(x=0~,~2\) のとき極小値 \(0\)
グラフは次のようになります。

 

問題解説(2)

問題次の関数のグラフを描け。 $${\small (2)}~y=-x^4+4x^3-5$$

\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-4x^3+12x^2$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=-4x^2(x-3)$$ここで、\(y’=0\) となるのは$$\hspace{ 20 pt}x=0~,~3$$また、\(y’\) の3次式の係数が負であり、\(x=0\) で重解をもつので \(y’\) のグラフは次のようになります。

また、\(x=0\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-0^4+4\cdot0^3-5$$$$\hspace{ 18 pt}=-5$$
\(x=3\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-3^4+4\cdot3^3-5$$$$\hspace{ 18 pt}=-81+108-5$$$$\hspace{ 18 pt}=22$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。

\(x\) \(\cdots\) \(0\) \(\cdots\) \(3\) \(\cdots\)
\(y’\) \(+\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(y\) ↗︎ \(-5\) ↗︎ \(22\) ↘︎

よって、
 \(x=3\) のとき極大値 \(22\) 、極小値はなし
グラフは次のようになります。

 

今回のまとめ

4次関数のグラフと増減表は、3次関数のときと同様に微分した \(y’\) より増減表を作りグラフを描きましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:微分と積分
このページは「高校数学Ⅱ:微分と積分」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...