４次関数のグラフと増減表の解法
① ４次関数 \(y=f(x)\) を \(x\) で微分し、３次関数 \(y’=f'(x)\) を求めます。
② ３次関数 \(y’=f'(x)\) より、\(f'(x)=0\) となる \(x\) の値を求めます。
③ ３次関数のグラフより、\(f'(x)\) の正負の変化をと極値の座標を調べておきます。
④ 以上より、増減表を作りグラフを描きます。
問題解説：４次関数のグラフと増減表
問題解説(1)
\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=4x^3-12x^2+8x$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=4x(x^2-3x+2)$$$$\hspace{ 21 pt}=4x(x-1)(x-2)$$ここで、\(y’=0\) となるのは$$\hspace{ 20 pt}x=0~,~1~,~2$$これと \(y’\) の３次式の係数が正より、\(y’\) のグラフは次のようになります。
また、\(x=0\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=0^4-4\cdot0^3+4\cdot0^2$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$
\(x=1\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=1^4-4\cdot1^3+4\cdot1^2$$$$\hspace{ 18 pt}=1-4+4$$$$\hspace{ 18 pt}=1$$
\(x=2\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=2^4-4\cdot2^3+4\cdot2^2$$$$\hspace{ 18 pt}=16-32+16$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(y’\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ | \(1\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ |
よって、
\(x=1\) のとき極大値 \(1\)
\(x=0~,~2\) のとき極小値 \(0\)
グラフは次のようになります。
問題解説(2)
\(y\) を \(x\) で微分すると、$$\hspace{ 10 pt}y’=-4x^3+12x^2$$右辺を因数分解すると、$$\hspace{ 21 pt}=-4x^2(x-3)$$ここで、\(y’=0\) となるのは$$\hspace{ 20 pt}x=0~,~3$$また、\(y’\) の３次式の係数が負であり、\(x=0\) で重解をもつので \(y’\) のグラフは次のようになります。
また、\(x=0\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-0^4+4\cdot0^3-5$$$$\hspace{ 18 pt}=-5$$
\(x=3\) のとき \(y\) 座標は、$$\hspace{ 10 pt}y=-3^4+4\cdot3^3-5$$$$\hspace{ 18 pt}=-81+108-5$$$$\hspace{ 18 pt}=22$$
よって、\(y\) の増減表は次のようになります。
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(3\) | \(\cdots\) |
| \(y’\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(y\) | ↗︎ | \(-5\) | ↗︎ | \(22\) | ↘︎ |
よって、
\(x=3\) のとき極大値 \(22\) 、極小値はなし
グラフは次のようになります。
今回のまとめ
４次関数のグラフと増減表は、３次関数のときと同様に微分した \(y’\) より増減表を作りグラフを描きましょう。
