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不定積分

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今回の問題は「不定積分」です。

問題次の不定積分を計算せよ。$${\small (1)}~\int(3x^2+7x-3)dx$$$${\small (2)}~\int(3t^2-4t+5)dt$$$${\small (3)}~\int(x-3)(x+1)dx$$$${\small (4)}~\int(3x-2)^2dx$$

 

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不定積分の計算

Point:不定積分関数 \(f(x)\) に対して、微分して \(f(x)\) となる関数を \(F(x)\) として原始関数といいます。よって、$$~~~F'(x)=f(x)$$このとき、\(F(x)\) を \(f(x)\) の不定積分といい、次の式で表します。

$$\int f(x) dx=F(x)+C$$

ここで、\(C\) を積分定数といいます。
 
・関数 \(x^n\) の不定積分

$$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

\(C\) は積分定数。
 次数が1つ上がり \(n\) → \(n+1\)
 上がった次数 \(n+1\) → 係数にかけ算
微分すると \(x^n\) に戻るように計算しましょう。

 

問題解説:不定積分

問題解説(1)

問題次の不定積分を計算せよ。$${\small (1)}~\int(3x^2+7x-3)dx$$

$$~~~~~~\int(3x^2+7x-3)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}3x^{2+1}+\frac{1}{1+1}7x^{1+1}-3x^1+C$$$$~=x^3+\frac{7}{2}x^2-3x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~x^3+\frac{7}{2}x^2-3x+C$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の不定積分を計算せよ。 $${\small (2)}~\int(3t^2-4t+5)dt$$

$$~~~~~~\int(3t^2-4t+5)dt$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}3t^{2+1}-\frac{1}{1+1}4t^{1+1}+5t^1+C$$$$~=t^3-2t^2+5t+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~t^3-2t^2+5t+C $$となります。

 

問題解説(3)

問題次の不定積分を計算せよ。 $${\small (3)}~\int(x-3)(x+1)dx$$

$$~~~~~~\int(x-3)(x+1)dx$$展開すると、$$~=\int(x^2-2x-3)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}2x^{1+1}-3x^1+C$$$$~=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C $$となります。

 

問題解説(4)

問題次の不定積分を計算せよ。 $${\small (4)}~\int(3x-2)^2dx$$

$$~~~~~~\int(3x-2)^2dx$$展開すると、$$~=\int(9x^2-12x+4)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}9x^{2+1}-\frac{1}{1+1}12x^{1+1}+4x^1+C$$$$~=3x^3-6x^2+4x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~ 3x^3-6x^2+4x+C$$となります。

 

今回のまとめ

不定積分の計算は、その計算方法と微分したら元に戻ることを覚えておきましょう。また、積分定数 \(C\) を忘れないようにしましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:微分と積分
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