不定積分の計算
ここで、\(C\) を積分定数といいます。
・関数 \(x^n\) の不定積分
\(C\) は積分定数。
次数が１つ上がり \(n\) → \(n+1\)
上がった次数 \(n+1\) → 係数にかけ算
微分すると \(x^n\) に戻るように計算しましょう。
問題解説：不定積分
問題解説(1)
$$~~~~~~\int(3x^2+7x-3)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}3x^{2+1}+\frac{1}{1+1}7x^{1+1}-3x^1+C$$$$~=x^3+\frac{7}{2}x^2-3x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~x^3+\frac{7}{2}x^2-3x+C$$となります。
問題解説(2)
$$~~~~~~\int(3t^2-4t+5)dt$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}3t^{2+1}-\frac{1}{1+1}4t^{1+1}+5t^1+C$$$$~=t^3-2t^2+5t+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~t^3-2t^2+5t+C $$となります。
問題解説(3)
$$~~~~~~\int(x-3)(x+1)dx$$展開すると、$$~=\int(x^2-2x-3)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}2x^{1+1}-3x^1+C$$$$~=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C $$となります。
問題解説(4)
$$~~~~~~\int(3x-2)^2dx$$展開すると、$$~=\int(9x^2-12x+4)dx$$\(C\) を積分定数として、不定積分を求めると、$$~=\frac{1}{2+1}9x^{2+1}-\frac{1}{1+1}12x^{1+1}+4x^1+C$$$$~=3x^3-6x^2+4x+C$$
よって、答えは
\(C\) を積分定数として、$$~~~ 3x^3-6x^2+4x+C$$となります。
今回のまとめ
不定積分の計算は、その計算方法と微分したら元に戻ることを覚えておきましょう。また、積分定数 \(C\) を忘れないようにしましょう。
