Twitterフォローよろしくお願いします!

【問題一覧】数学Ⅰ:集合と論理

スポンサーリンク
スポンサーリンク

このページは「高校数学Ⅰ:集合と論理」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう!
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

 

教科書より詳しい高校数学「よりくわ」の公式Line@アカウントです。キーワードを入力するとサイトのURLや公式の画像などを検索できますので、友達登録よろしくお願いします!

 

スポンサーリンク
スポンサーリンク

【問題一覧】数学Ⅰ:集合と論理

集合の表し方と要素

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(6\) 以下の自然数の集合 \(\rm A\) を書き並べて表せ。
\({\small (2)}~\)正の偶数の集合 \(\rm B\) を書き並べて表せ。また、式を用いた集合で表せ。
\({\small (3)}~\)\({\rm C}=\{~x~|~x\)は1けたの素数 \(\}\) とするき、次の[ ]に \( \in \) または \( \notin \) を入れよ。
  \({\large ①}\) 3[ ]C   \({\large ②}\) 1[ ]C
  \({\large ③}\) 8[ ]C   \({\large ④}\) 13[ ]C

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~{\rm A}=\{~1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~\}$$$${\small (2)}~{\rm B}=\{~2~,~4~,~6~,~8~,~\cdots~\}$$ \(~~{\rm B}=\{~2n~|~n\)は自然数\(~\}\)$${\small (3)}~{\large ①}~3\in {\rm C}~~~{\large ②}~1\notin {\rm C}$$$$~~~~~{\large ③}~8\notin {\rm C}~~~{\large ④}~13\notin {\rm C}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

集合の表し方と要素
範囲がはっきりと決まった集まりを集合といい、それを構成している1つ1つのものを要素といいます。今回はその集合の表し方を解説していきます。

 

集合の包含関係と部分集合

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の2つの集合の包含関係を調べよ。
  \({\large ①}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(12\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(6\) の約数\(~\}\)
  \({\large ②}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は \(8\) の約数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~1~,~2~,~4~,~8~\}\)
  \({\large ③}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は1桁の偶数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は \(24\) の約数\(~\}\)
  \({\large ④}\) \({\rm A}=\{~n~|~n\)は2の倍数\(~\}\)
    \(~{\rm B}=\{~n~|~n\)は6の倍数\(~\}\)
\({\small (2)}~\)1桁の3の倍数の集合 \(\rm A\) の部分集合をすべて答えよ。

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~{\rm A}\supset{\rm B}~~~{\large ②}~{\rm A}={\rm B}$$$$~~~~~{\large ③}~{\rm A}\subset{\rm B}~~~{\large ④}~{\rm A}\supset{\rm B}$$$${\small (2)}~\{~3~\}~,~\{~6~\}~,~\{~9~\}$$$$~~~~~\{~3~,~6~\}~,~\{~6~,~9~\}~,~\{~3~,~9~\}$$$$~~~~~\{~3~,~6~,~9~\}~,~\phi$$

詳しい解説ページはこちらから↓

集合の包含関係と部分集合
今回は包含関係と部分集合について解説していきます。包含関係は2つの集合についての含まれるかを表します。また、部分集合についての知識も覚えておきましょう!

 

共通部分と和集合

問題1桁の3の倍数の集合を \(\rm A\)、1桁の素数の集合を \(\rm B\)、集合 \(\rm C\) を \({\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}$$$${\small (2)}~{\rm A} \cup {\rm B}$$$${\small (3)}~{\rm B} \cap {\rm C}$$$${\small (4)}~{\rm A} \cup {\rm C}$$$${\small (5)}~{\rm A} \cap {\rm B} \cap {\rm C}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~{\rm A} \cap {\rm B}=\{~3~\}$$$${\small (2)}~{\rm A} \cup {\rm B}=\{~2~,~3~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$$${\small (3)}~{\rm B} \cap {\rm C}=\{~2~,~3~,~5~\}$$$${\small (4)}~{\rm A} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~9~\}$$$${\small (5)}~{\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~\}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup {\rm B} \cup {\rm C}=\{~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~9~\}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

共通部分と和集合
今回は集合の「かつ」と「または」について解説していきます。それぞれの記号とベン図の描き方を覚え、集合を求めれるようになりましょう。

 

補集合とド・モルガンの法則

問題全体集合 \(\rm U\) が1~10までの自然数であり、この全体集合の部分集合で要素が3の倍数の集合を \(\rm A\)、要素が素数の集合を \(\rm B\) とするとき、次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。$${\small (1)}~\overline {\rm A}$$$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}$$$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}$$$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~\overline {\rm A}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~7~,~8~,~10~\}$$$${\small (2)}~\overline {{\rm A} \cup {\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$$${\small (3)}~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~2~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~9~,~10~\}$$$${\small (4)}~\overline {{\rm A}} \cap \overline {{\rm B}}=\{~1~,~4~,~8~,~10~\}$$$${\small (5)}~\overline {{\rm A}} \cap {\rm B}=\{~2~,~5~,~7~\}$$$${\small (6)}~{\rm A} \cup \overline {{\rm B}}=\{~1~,~3~,~4~,~6~,~8~,~9~,~10~\}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

補集合とド・モルガンの法則
ある集合に対して、その集合に属さない集合である補集合とド・モルガンの法則について解説していきます。それぞれ重要な知識となりますのでしっかりと覚えておきましょう。

 

数直線と集合

問題\(x\) を実数とし、実数全体を全体集合として、集合\({\rm P}~,~{\rm Q}\) が以下のとき、次の集合を答えよ。$$~~~{\rm P}=\{~x~|~0<x<7~\}$$$$~~~{\rm Q}=\{~x~|~-2≦x≦4~\}$$$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}$$

[ 解答を見る ]

【解答】$${\small (1)}~{\rm P}\cup {\rm Q}=\{~x~|~-2≦x<7~\}$$$${\small (2)}~{\rm P}\cap {\rm Q}=\{~x~|~0<x≦4~\}$$$${\small (3)}~\overline{{\rm P}}\cup {\rm Q}=\{~x~|~x≦4~,~7≦x~\}$$$${\small (4)}~{\rm P}\cap \overline{{\rm Q}}=\{~x~|~4<x<7~\}$$

詳しい解説ページはこちらから↓

数直線と集合
数直線上の範囲も集合として考えることができます。問題を解くときにはベン図の代わりに数直線を描き視覚的に解くようにしましょう。

 

命題の真偽

問題次の命題の真偽を答えよ。
\({\small (1)}~\)2つの三角形が合同ならば、それらは面積が等しい
\({\small (2)}~\)ある四角形がひし形ならば、その四角形は平行四辺形である
\({\small (3)}~\)2つの長方形の面積が等しいならば、それらは合同である
\({\small (4)}~\)ある四角形が長方形ならば、その四角形は正方形である

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽
\({\small (4)}~\)偽

詳しい解説ページはこちらから↓

命題の真偽
命題とその真偽について解説していきます。仮定と結論とその表したかについても覚えておきましょう。

 

条件の真偽

問題次の命題の真偽を答えよ。また、偽の場合は反例を1つあげよ。
\({\small (1)}~ab>0\) ならば \(a>0\) かつ \(b>0\)
\({\small (2)}~a=1\) かつ \(b=2\) ならば \(a+b=3\)
\({\small (3)}~x^2≧9\) ならば \(x≧3\)
\({\small (4)}~3≦x≦4\) ならば \(-1<x\)
\({\small (5)}~n\) が3の倍数ならば \(n\) は6の倍数である

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)偽、反例の1つは \(a=-1~,~b=-2\) のとき
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽、反例の1つは \(x=-4\) のとき
\({\small (4)}~\)真
\({\small (5)}~\)偽、反例の1つは、\(n=9\) のとき

詳しい解説ページはこちらから↓

条件の否定①(かつ・または)
今回は条件の否定の基本と「かつ」と「または」の否定を解説していきます。「かつ」と「または」の否定は特殊なので、しっかりと覚えておきましょう。

 

条件の否定①(かつ・または)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数とする。
\({\small (1)}~n\) は有理数である
\({\small (2)}~x=3\)
\({\small (3)}~-1≦x<2\)
\({\small (4)}~x>0\) かつ \(y≦0\)
\({\small (5)}~x≧0\) または \(y>-2\)

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)\(n\) が無理数
\({\small (2)}~\)\(x\neq3\)
\({\small (3)}~\)\(x<-1~,~2≦x\)
\({\small (4)}~\)\(x≦0\) または \(y>0\)
\({\small (5)}~\)\(x<0\) かつ \(y≦-2\)

詳しい解説ページはこちらから↓

条件の否定①(かつ・または)
今回は条件の否定の基本と「かつ」と「または」の否定を解説していきます。「かつ」と「または」の否定は特殊なので、しっかりと覚えておきましょう。

 

条件の否定②(すべて・ある・ともに)

問題次の条件の否定を答えよ。ただし、文字はすべて実数である。
\({\small (1)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3>0\)
\({\small (2)}~x^2+2x+3≦0\) を満たす実数 \(x\) が存在する
\({\small (3)}~m~,~n\) がともに有理数である

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について、\(x^2-4x+3≦0\)
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について、\(x^2+2x+3>0\)
\({\small (3)}~\)\(m~,~n\) の少なくとも一方が無理数

詳しい解説ページはこちらから↓

条件の否定②(すべて・ある・ともに)
前回に続き条件の否定を解説していきます。今回は「すべて」、「ある」、「ともに」などの特別な語句が出てきますのでそれぞれの否定がどのようになるか覚えておきましょう。

 

必要条件と十分条件

問題次の \(p~,~q\) に対して、\(p\) は \(q\) の何になるか「必要条件である」、「十分条件である」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」の中から選んで答えよ。また、文字はすべて実数である。
\({\small (1)}~p\):\(x^2=4\)、\(q\):\(x=2\)
\({\small (2)}~p\):\(x~,~y\) がともに有理数、\(q\):\(xy\)が有理数
\({\small (3)}~p\):\(xy>0\)、\(q\):\(x>0\) かつ \(y>0\)
\({\small (4)}~p\):ある四角形がひし形、\(q\) :ある四角形が平行四辺形
\({\small (5)}~p\):2つの正方形が合同、\(q\):2つの正方形の面積が等しい

[ 解答を見る ]

【解答】
\({\small (1)}~\)必要条件
\({\small (2)}~\)十分条件
\({\small (3)}~\)必要条件
\({\small (4)}~\)十分条件
\({\small (5)}~\)必要十分条件

詳しい解説ページはこちらから↓

必要条件と十分条件
必要条件と十分条件について解説していきます。解法の手順と判定方法をしっかりと覚えておきましょう。

 

逆・裏・対偶

問題次の命題の逆と裏と対偶を答えよ。また、それぞれの真偽も答えよ。
\(x=2\) かつ \(y=3\) ならば \(xy=6\)

[ 解答を見る ]

【解答】
 逆「\(xy=6\) ならば \(x=2\) かつ \(y=3\)」偽
 裏「\(x\neq2\) または \(y\neq3\) ならば \(xy\neq6\)」偽
 対偶「\(xy\neq6\) ならば \(x\neq2\) または \(y\neq3\)」真

詳しい解説ページはこちらから↓

逆・裏・対偶
今回は命題に対する逆と裏と対偶について解説していきます。それぞれの求め方と、成り立つ性質を覚えておきましょう。

 

対偶法

問題整数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを対偶を利用して証明せよ。

[ 解答を見る ]

【解答】詳しい解説ページはこちらから↓

対偶法
今回は証明法の1つである対偶法について解説していきます。そのままでは証明しにくいような命題を対偶を用いて証明していきましょう。

 

背理法

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\sqrt{2}\) が無理数であるとき、\(\sqrt{2}+3\) が無理数であることを証明せよ。
\({\small (2)}~\sqrt{3}\) が無理数であることを背理法を用いて証明せよ。ただし、自然数 \(n\) について、\(n^2\) が3の倍数ならば、\(n\) も3の倍数となることを用いてよい。

[ 解答を見る ]

【解答】詳しい解説ページはこちらから↓

背理法
今回は背理法について解説していきます。命題が成り立たないと仮定し矛盾を示す証明の手順を覚えておきましょう。