高校数学Ⅰ｜集合と論理の基本例題18問一覧

集合と論理 01自然数全体の集合を \(A\) とするとき、\(5~□~A~,~\)\(-3~□~A~,~\)\(3.5~□~A\) のそれぞれの \(□\) に入る記号の答え方は？

集合と論理 02\(3\) の正の倍数全体の集合 \(A\) を、要素を書き並べる方法or要素を満たす条件を表す方法での表し方は？

集合と論理 03\(A=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~2~,~3\,\}~,~\)\(C=\{\,x\,|\,x\) は \(6\) の正の約数\(\,\}\) について、\(A~□~B~,~\)\(A~□~C~,~\)\(B~□~C~,~\)\(\{\,6\,\}~□~A\) の \(□\) に入る記号の答え方は？

集合と論理 04集合 \(A=\{\,1~,~2~,~3\,\}\) の部分集合をすべて求める方法は？

集合と論理 05\(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}\) のとき、共通部分 \(A \cap B\) と和集合 \(A \cup B\) の求め方は？さらに、\(C=\{\,1~,~2~,~8~,~9\,\}\) のとき、共通部分 \(A \cap B \cap C\) と和集合 \(A \cup B \cup C\) の求め方は？

集合と論理 06\(1\) 桁の自然数の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A=\{\,2~,~4~,~6~,~8\,\}~,~\)\(B=\{\,1~,~2~,~3~,~6\,\}\) について、\(A\) の補集合 \(\overline{A}~,~\)\(B\) の補集合 \(\overline{B}\)、共通部分 \(\overline{A} \cap B\) と和集合 \(A \cup \overline{B}\) の求め方は？また、集合 \(\overline{A \cup B}~,~\)\(\overline{A \cap B}\) をド・モルガンの法則を用いて求める方法は？

集合と論理 07実数全体を全体集合として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}5\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,x \lt 3\,\}\) のとき、集合 \(\overline{A}~,~\)\(\overline{B}~,~\)\(A \cap B~,~\)\(A \cup B~,~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}~,~\)\(\overline{A} \cup \overline{B}~,~\)\(\overline{A} \cap B~,~\)\(\overline{A} \cup B\) の表し方は？

集合と論理 08☆整数全体の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A=\{\,a-1~,~a~,~5\,\}~,~\)\(B=\{\,3a+1~,~a^2-3~,~5\,\}\) について、共通部分 \(A \cap B=\{\,1~,~5\,\}\) を満たすとき、定数 \(a\) の値の求め方は？

集合と論理 09☆\(1\) 桁の自然数の全体集合 \(U\) の部分集合 \(A~,~\)\(B\) について、\(A \cap B=\{\,2~,~6\,\}~,~\)\(\overline{A} \cap \overline{B}=\{\,5~,~7~,~9\,\}~,~\)\(\overline{A} \cap B=\{\,1~,~3\,\}\) を満たすとき、集合 \(A~,~\)\(B\) の求め方は？

集合と論理 10☆実数全体を全体集合、\(a\) を \(1\) より大きい定数として、\(A=\{\,x\,|\,1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a\,\}~,~\)\(B=\{\,x\,|\,4 \lt x \lt 7\,\}\) のとき、\(A \cap B\) にただ \(1\) つの整数を含むような \(a\) の値の範囲の求め方は？また、\(A \cap B=\varnothing\) となるような \(a\) の値の範囲の求め方は？

集合と論理 11命題「\(x\) を実数として、\(x^2=9\) ならば \(x=3\)」、「\(n\) を自然数として、\(n\) は素数 \(\Rightarrow\) \(n\) は奇数」、「ひし形は平行四辺形である」、「\(x\) を実数として、\(x \gt 3\) \(\Rightarrow\) \(x \gt 0\)」、「\(x\) を実数として、\(1 \lt x \lt 3\) \(\Rightarrow\) \(2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}4\)」、「\(n\) を自然数として、\(n\) は \(6\) の倍数 \(\Rightarrow\) \(n\) は \(3\) の倍数」、「\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(a+b\) は無理数」、「\(a~,~b\) を実数として、\(a\) が有理数かつ \(b\) が無理数なら \(ab\) は無理数」、「\(a~,~b\) を実数として、\(a~,~b\) がともに無理数なら \(ab\) は無理数」の真偽を調べ方は？また、偽である場合でも反例のあげ方は？

集合と論理 12\(x~,~y\) を実数、\(m~,~n\) を自然数として、「\(x=3\) は \(x^2=9\) であるための○○条件」、「\(2\) つの図形の面積が等しいは、\(2\) つの図形が合同であるための○○条件」、「\(x^2+y^2=0\) は \(x=0\) であるための○○条件」、「\(x^2=y^2\) は \(|\,x\,|=|\,y\,|\) であるための○○条件」、「\(x^2 \gt y^2\) は \(x \gt y\) であるための○○条件」、「\(m~,~n\) がともに偶数は \(m+n\) が偶数であるための○○条件」、「\(mn\) が偶数は \(m~,~n\) がともに偶数であるための○○条件」、「\(m+n\) が偶数は \(mn\) が偶数であるための○○条件」の○○に入る語句の選び方は？

集合と論理 13\(x~,~y\) を実数として、「\(x=3\)」、「\(x \gt 3\)」、「\(x\) は無理数である」、「\(x=1\) かつ \(y=2\)」、「\(x{\small ~≧~}0\) または \(y \lt 0\)」、「\(x~,~y\) の少なくとも一方は無理数である」の否定の答え方は？

集合と論理 14☆「すべての実数 \(x\) について、\(x^2{\small ~≧~}0\)」、「ある素数 \(n\) について、\(n+2\) も素数である」の否定の答え方は？また、それぞれの真偽の調べ方は？

集合と論理 15\(x\) を実数として、命題「\(x=3 \Rightarrow x^2=9\)」の逆、裏、対偶の答え方は？また、それぞれの真偽の調べ方は？

集合と論理 16\(n\) を整数として、「\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数である」の証明方法は？

集合と論理 17\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて「\(2+\sqrt{2}\) は無理数である」を証明する方法は？また、\(n\) を整数として、\(n^2\) が偶数ならば、\(n\) は偶数であるを用いて「\(\sqrt{2}\) が無理数である」を証明する方法は？

集合と論理 18☆\(a~,~b\) が有理数のとき、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを用いて、命題「\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\)」を証明する方法は？また、\(a+b\sqrt{2}=3-5\sqrt{2}\) のときの \(a~,~b\) の値の求め方は？